2021年(令和3年)大阪大学-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2]

空間内に，同一平面上にない $4$ 点 $O,A,B,C$ がある． $s,t$ を $0\lt s\lt 1$ ， $0\lt t\lt 1$ をみたす実数とする．線分 $\rm OA$ を $1:1$ に内分する点を ${\rm A}_0$ ，線分 $\rm OB$ を $1:2$ に内分する点を ${\rm B}_0$ ，線分 ${\rm AC}$ を $s:(1-s)$ に内分する点を ${\rm P}$ ，線分 ${\rm BC}$ を $t:(1-t)$ に内分する点を ${\rm Q}$ とする．さらに $4$ 点 ${\rm A}_0,{\rm B}_0,{\rm P},{\rm Q}$ が同一平面上にあるとする．

(1) $t$ を $s$ を用いて表せ．

(2) $|\overrightarrow{\rm OA}|=1$ ， $|\overrightarrow{\rm OB}|=2$ ， $\angle\rm AOB=120^{\circ}$ ， $\angle\rm BOC=90^{\circ}$ ， $\angle\rm COA=60^{\circ}$ ， $\angle\rm POQ=90^{\circ}$ であるとき， $s$ の値を求めよ．

2021.02.25記
メネラウスの定理の3次元版

[解答]

(1) $\dfrac{{\rm OA}_0}{{\rm A}_0{\rm A}}$ $\times\dfrac{\rm AP}{\rm PC}\times\dfrac{\rm CQ}{\rm QB}\times\dfrac{{\rm BB}_0}{{\rm B}_0{\rm O}}=1$ により $\dfrac{1}{1}\times\dfrac{s}{1-s}\times\dfrac{1-t}{t}\times\dfrac{2}{1}=1$ だから $t=\dfrac{2s}{1+s}$

(2) ${\rm B}(0,2,0)$ ， ${\rm C}(0,0,2)$ ， ${\rm A}(a,b,c)（a^2+b^2+c^2=1，a\gt 0）$ とおくと $b=\cos 120^{\circ}=-\dfrac{1}{2}$ ， $c=\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ から $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ となるので ${\rm A}\Bigl(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\Bigr)$ となる．

よって ${\rm P}\Bigl(\dfrac{1-s}{\sqrt{2}},\dfrac{s-1}{2},\dfrac{1+3s}{2}\Bigr)$ ， ${\rm Q}(0,2-2t,2t)$ だから $(s-1)(1-t)+(1+3s)t=0$ つまり
$t=\dfrac{1-s}{2(1+s)}$ となる．(1)より $\dfrac{2s}{1+s}=\dfrac{1-s}{2(1+s)}$ となり $s=\dfrac{1}{5}$ ， $t=\dfrac{1}{3}$ である．これらは確かに $0\lt s,t \lt 1$ をみたしている．