2021年(令和3年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[問題]

[1]
$a,b$ を実数とする．座標平面上の放物線 $C:y=x^2+ax+b$ は放物線 $y=−x^2$ と $2$ つの共有点をもち，一方の共有点の $x$ 座標は $−1\lt x\lt 0$ を満たし，他方の共有点の $x$ 座標は $0\lt x\lt 1$ を満たす．

(1)点 $(a,b)$ のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ．

(2)放物線 $C$ の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ．

[2]
複素数 $a,b,c$ に対して整式 $f(z)=az^2+bz+c$ を考える． $i$ を虚数単位とする．

(1) $\alpha,\beta,\gamma$ を複素数とする． $f(0)=\alpha,f(1)=\beta,f(i)=\gamma$ が成り立つとき， $a,b,c$ をそれぞれ $\alpha,\beta,\gamma$ で表せ．

(2) $f(0),f(1),f(i)$ がいずれも $1$ 以上 $2$ 以下の実数であるとき， $f(2)$ のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ．

[3]
関数 $f(x)=\dfrac{x}{x^2+3}$ に対して， $y=f(x)$ のグラフを $C$ とする．点 ${\rm A}(1,f(1))$ における $C$ の接線を $\ell:y=g(x)$ とする．

(1) $C$ と $\ell$ の共有点で $\rm A$ と異なるものがただ $1$ つ存在することを示し, その点の $x$ 座標を求めよ．

(2)(1)で求めた共有点の $x$ 座標を $\alpha$ とする. 定積分 $\displaystyle\int_{\alpha}^1 \{f(x)−g(x)\}^2\, dx$ を計算せよ．

[4]
以下の問いに答えよ．

(1)正の奇数 $K,L$ と正の整数 $A,B$ が $KA=LB$ を満たしているとする． $K$ を $4$ で割ったあまりが $L$ を $4$ で割った余りと等しいならば， $A$ を $4$ で割った余りは $B$ を $4$ で割った余りと等しいことを示せ．

(2)正の整数 $a,b$ が $a\lt b$ を満たしているとする．このとき, $A={}_{4a+1}\mbox{C}_{4b+1},B={}_a\mbox{C}_b$ に対して $KA=LB$ となるような正の奇数 $K,L$ が存在することを示せ．

(3) $a,b$ は(2)の通りとし，さらに $a−b$ が $2$ で割り切れるとする． ${}_{4a+1}\mbox{C}_{4b+1}$ を $4$ で割ったあまりは ${}_a\mbox{C}_b$ を $4$ で割った余りと等しいことを示せ．

(4) ${}_{2017}\mbox{C}_{37}$ を $4$ で割った余りを求めよ．

[5]
$\alpha$ を正の実数とする． $0\leqq\theta\leqq\pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ を，座標平面上の $2$ 点 ${\rm A}(−\alpha,−3)$ ， ${\rm P}(\theta+\sin\theta,\cos\theta)$ 間の距離 ${\rm AP}$ の $2$ 乗として定める．

(1) $0\lt\theta\lt\pi$ の範囲に $f′(\theta)$ となる $\theta$ がただ1つ存在することを示せ．

(2) 以下が成り立つような $\alpha$ の範囲を求めよ.

$0\leqq\theta\leqq\pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ は，区間 $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ のある点において最大になる．

[6]
定数 $b,c,p,q,r$ に対し， $x^4+bx+c=(x^2+px+q)(x^2−px+r)$ が $x$ についての恒等式であるとする．

(1) $p\neq 0$ であるとき， $q,r$ を $p,b$ で表せ．

(2) $p\neq 0$ とする． $b,c$ が定数 $a$ を用いて
$b=(a^2+1)(a+2),c=−\Bigl(a+\dfrac{3}{4}\Bigr)(a^2+1)$
と表されているとき，有理数を係数とする $t$ についての整式 $f(t)$ と $g(t)$ で
$\{p^2−(a^2+1)\} \{p^4+f(a)p^2+g(a)\}=0$
を満たすものを $1$ 組求めよ．