2005年(平成17年)東京大学前期-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.18記

[3] $0$ 以上の実数 $s$ ， $t$ が $s^2+t^2=1$ を満たしながら動くとき，方程式
$x^4-2(s+t)x^2+(s-t)^2=0$
の解のとる値の範囲を求めよ．

2020.09.25記

[うまい解答]
$x^4+(\sqrt{s})^4+(\sqrt{t})^4-2x^2(\sqrt{s})^2-2(\sqrt{s})^2(\sqrt{t})^2-2(\sqrt{t})^2x^2=0$
はヘロンの公式を思い出すと
$-(x+\sqrt{s}+\sqrt{t})(-x+\sqrt{s}+\sqrt{t})(x-\sqrt{s}+\sqrt{t})(x+\sqrt{s}-\sqrt{t})=0$
と変形できるので，与えられた4次方程式の解は
$x=\sqrt{s}+\sqrt{t}$ ， $\sqrt{s}-\sqrt{t}$ ， $-\sqrt{s}+\sqrt{t}$ ， $-\sqrt{s}-\sqrt{t}$
である．
$(p,q)=(\sqrt{s},\sqrt{t})$ なる点は $p^4+q^4=1$ の第1象限（軸との交点を含む）を動く
$(p,q)=(-\sqrt{s},\sqrt{t})$ なる点は $p^4+q^4=1$ の第2象限（軸との交点を含む）を動く
$(p,q)=(-\sqrt{s},-\sqrt{t})$ なる点は $p^4+q^4=1$ の第3象限（軸との交点を含む）を動く
$(p,q)=(\sqrt{s},-\sqrt{t})$ なる点は $p^4+q^4=1$ の第4象限（軸との交点を含む）を動く
ので，これらの合併集合は $p^4+q^4=1$ 全体を動く．

いま，直線 $p+q=x$ を考えると，これと $p^4+q^4=1$ の交点は，その象限によって4つの解のいずれか
（軸上の場合は2つ）に対応するので，直線 $p+q=x$ と $p^4+q^4=1$ が交わる $x$ の範囲が求める結果となる．

シュワルツの不等式を2回使った
$8=(1^2+1^2)^2(1^2+1^2)(p^4+q^4)\geqq (1^2+1^2)^2(p^2+q^2)^2 \geqq (p+q)^4=x^4$
を利用すると，求める範囲は $-\sqrt[4]{8}\leqq x\leqq \sqrt[4]{8}$ となる．

実質的に同じだが，ヘロンの公式の値が0となることを強調してみると次のようになる．

[大人の解答]
$s=\sqrt{\sin\theta}，t=\sqrt{\cos\theta}， |x|$ （ $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ ）の3辺からなる3角形の面積が0になるような $\theta$ が存在するような $x$ の範囲を求めれば良い．

対称性より $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{4}$ としてよく， $\theta$ を固定すると $|x|=\sqrt{\cos\theta}-\sqrt{\sin\theta}，\sqrt{\cos\theta}+\sqrt{\sin\theta}$ となる．

ここで $\theta$ を $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{4}$ で動かすと
$\sqrt{\cos\theta}-\sqrt{\sin\theta}$ は $\theta$ について単調減少となり値域は $[0，1]$ となり，
$\sqrt{\cos\theta}+\sqrt{\sin\theta}$ は $p^4+q^4=1$ の凸性から $\theta$ について単調増加となり値域は $\Bigl[1，\dfrac{2}{\sqrt[4]{2}}\Bigr]$ となる．

以上から $0\leqq |x|\leqq \dfrac{2}{\sqrt[4]{2}}$ となる．