2025.12.15記 [3] 縦横それぞれ ， の長方形を底面とし，側稜が底面に垂直な四角柱がある．これを底面の一頂点を通る平面で切ったとき，切り口が菱（ひし）形で，底面から最も高い頂点が の高さにあったという．この菱形の対角線の長さの比を求めよ．2025.12…

2025.12.15記 [2] 円周上の任意の点 において接線を引き，定直径 の延長との交点を とする． の二等分線と直線 とは常に定角をなすことを証明せよ．2025.12.16記 [解答] としても一般性を失わない ( のときは となり が定まらず， のときは が定まらず， の…

2025.12.15記 [1] 次の の中に適当な数字または文字を入れよ．（証明不要）(1) 二定点 ， からの距離の平方の和が一定の値 （）であるような点の軌跡は である．(2) 一辺の長さ の正三角形の内接円の半径は であり，外接円の半径は である．2025.12.16記 [解…

2025.12.15記 [3] ガラス容器があってその形状は次の三つの線で囲まれた部分を 軸のまわりに回転してできる回転体であるとする． 放物線 ，これを 軸に平行に だけ上方に移動した放物線，直線 ，ただし座標軸上に測る長さの単位は とする． この容器に水を入…

2025.12.15記 [2] をある正の整数とするとき， における函数 の最大値を求めよ．またこの最大値は のどんな正整数値に対して最も大きくなるか．2025.12.16記 [解答] と で であるから で となるので， は で最大値 をとる．これを とおくと （等号は ） であ…

2025.12.15記 [1] 次の の中に適当な数字または文字を入れよ．（証明不要）(1) の展開における の係数は である．(2) 2025.12.16記 [解答] (1) により の展開における の係数は である．(2) である．

2025.12.15記 [3] 三辺が ，， の三角形がある． 三辺がそれぞれ だけ短い鈍角三角形をつくり得るための の範囲を求めよ．2025.12.15記 [解答] 最大辺は であるから三角形の成立条件から となり となり，最大角が鈍角であることから となり となる．よって …

2025.12.15記 [2] 函数 のグラフをえがけ．2025.12.15記 [解答] が実数となるので …①である．このとき であり， となるので①に注意して となる．よって となる（図示略） [解答] が実数となるので …①である． となる（図示略）

2025.12.15記 [1] 次の の中に適当な数字または文字を入れよ．（証明不要）(1) は 桁（けた）の数である．（ とする）(2) 二次関数 は のとき最値をとる．2025.12.15記 小問毎に記事を分けなくても良いかな [解答] (1) により は 桁（けた）の数である．(2) …

2025.12.15記 （100点満点） [1]（20点）次の の中に適当な数字または文字を入れよ．（証明不要）(1) 二定点 ， からの距離の平方の和が一定の値 （）であるような点の軌跡は である．(2) 一辺の長さ の正三角形の内接円の半径は であり，外接円の半径は で…

2025.12.15記 （100点満点） [1]（20点）次の の中に適当な数字または文字を入れよ．（証明不要）(1) の展開における の係数は である．(2) [2]（40点） をある正の整数とするとき， における函数 の最大値を求めよ．またこの最大値は のどんな正整数値に対…

2025.12.15記 （100点満点） [1]（20点）次の の中に適当な数字または文字を入れよ．（証明不要）(1) は 桁（けた）の数である．（ とする）(2) 二次関数 は のとき最値をとる．[2]（40点）函数 のグラフをえがけ．[3]（40点）三辺が ，， の三角形がある． …

2025.12.15記 （2科目150分．200点満点） 【解析Ｉ】[1]（20点）次の の中に適当な数字または文字を入れよ．（証明不要）(1) は 桁（けた）の数である．（ とする）(2) 二次関数 は のとき最値をとる．[2]（40点）函数 のグラフをえがけ．[3]（40点）三辺が …

2022.01.17記 [3] 個の数字 のどれかをとる変数 と がある． とし，これらを四捨五入して得られる整数をそれぞれ とする． と との差の絶対値が より小さくなる確率を求めよ． ただし と は互いに独立で，どの数字をとる確率もすべて等しいとする．2022.01.1…

2022.01.17記 [2] 右の図のような投影図をもち，平面で囲まれた立体の体積を求めよ．ただし四角形ABCD は長方形である．2022.01.17記 [解答] 断頭三角柱の体積公式から，

2022.01.17記 [1] ある人が 円を預金しその後一年目ごとに 円ずつ引き出すとする．利息は年 % の利率で，一年ごとの複利で計算するとすれば，何回引き出したときにはじめて残りが 円未満となるか．ただし ， とする．2022.01.17記当時は，数表の線型補間があ…

2022.02.10記 [3] 空間にある正三角形を一つの平面上に正射影したとき，三辺の長さがそれぞれ であるような三角形がえられた．もとの正三角形の一辺の長さはいくらか．2022.02.10記 [解答] 空間の一辺の長さが の正三角形 を 平面へ正射影したものが である…

2022.02.10記 [2] 定直線 とこれに接する定円 とがある．この円の任意の直径の両端を通り定直線 に接する円の中心の軌跡を求めよ．またその図をえがけ．2022.02.10記 座標設定して「束」を使おう。 [解答] を ，円 を （）とする。条件をみたす円を （） と…

2022.02.10記[1] 任意の三角形ABC の外側に，， をそれぞれ一辺とする平行四辺形 ， を任意に作り，直線 ， の交点を とする． 次に の辺 を一辺として平行四辺形 を ， となるように作れば ▱▱▱ となることを証明せよ．[図] 2022.02.10記 外積（行列式）の線…

2022.01.12記 [3] 右の図のようにとった直交軸に関し，直線 より上，曲線 より下，直線 より左にある平面の部分の面積を求め，それを の函数と考えてそのグラフをえがけ．[図] 2022.01.12記 [解答]求める面積を とする．(1) のとき： そのような部分は空集合…

2022.01.12記 [2] 直交座標に関し，四点 ，，， を頂点とする正方形がある．，， となるように二点 ， をとるとき， と正方形 との共通部分の面積の最大値を求めよ． 2022.01.12記 [略解] 共通部分の面積を とする．(i) のとき： 共通部分は および からなる…

2022.01.12記 [1] 次の函数のグラフをえがけ．(i) ，ただし とする．(ii) 2022.01.12記 [解答](i) (a) のとき：(b) のとき：(c) のとき：(d) のとき：を図示すれば良い．(ii) (a) つまり が整数でないとき：(b) つまり が整数のとき：を図示すれば良い．

2022.01.12記 [3] 図のように長方形 の中にたがいに外接する二円 があって，円 は と に接し，円 は と に接する． このとき二円の面積の和を円 の半径 の函数 と考えてそのグラフをえがきその函数の最大値と最小値を求めよ． ただし とする．注意． のグラ…

2022.01.12記 [2] 二つの二次方程式 ， が少くとも一つの実根を共有するとき， の値を求めよ．ただし， とする．2022.01.12記 の連立方程式を考える． [解答]， の差を考えると， となるので，(i) のとき:2つの二次方程式が共通解 をもつには、 となれば良く…

2022.01.12記 [1] 任意の実数 に対して，不等式 がつねに成り立つために定数 の満足するべき条件を求めよ．2022.01.12記 [解答] と変形できるので，求める条件は 「 かつ 」である． [大人の解答] とおくと、これは 空間で下に凸な図形となる。 極小値は、 …

2022.01.12記 [1] ある人が 円を預金しその後一年目ごとに 円ずつ引き出すとする．利息は年 % の利率で，一年ごとの複利で計算するとすれば，何回引き出したときにはじめて残りが 円未満となるか．ただし ， とする．[2] 右の図のような投影図をもち，平面で…

2022.01.12記[1] 任意の三角形ABC の外側に，， をそれぞれ一辺とする平行四辺形 ， を任意に作り，直線 ， の交点を とする． 次に の辺 を一辺として平行四辺形 を ， となるように作れば ▱▱▱ となることを証明せよ．[図][2] 定直線 とこれに接する定円 と…

2022.01.12記[1] 次の函数のグラフをえがけ． (i) ，ただし とする．(ii) [2] 直交座標に関し，四点 ，，， を頂点とする正方形がある．，， となるように二点 ， をとるとき， と正方形 との共通部分の面積の最大値を求めよ．[3] 右の図のようにとった直交…

2022.01.12記[1] 任意の実数 に対して，不等式 がつねに成り立つために定数 の満足するべき条件を求めよ．[2] 二つの二次方程式 ， が少くとも一つの実根を共有するとき， の値を求めよ．ただし， とする．[3] 図のように長方形 の中にたがいに外接する二円 …

2020.10.26記 4科目のうち2科目を選択せよ【解析Ｉ】[1] 任意の実数 に対して，不等式 がつねに成り立つために定数 の満足するべき条件を求めよ． [2] 二つの二次方程式 ， が少くとも一つの実根を共有するとき， の値を求めよ．ただし， とする．[3] 図のよ…