2020.05.15記 [1] 実数 は をみたすとする． なる実数 に対して が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはどんな時か．2020.05.15記 都立大はA日程。数学科は理系数学以外に数学科専用問題がある。 だから、 のうち0以上のものが1つ、0以下のものが2…

2020.04.10記 実数 に対して は より大きくない最大の整数を表すものとする。例えば 、 である。また、数列 ， ，， を で定める。 を で割った余りを求めよ．2020.04.10記 何かメモが見つかったので文理、問題番号は不明。いつか調べる。 であるから、 を …

2020.08.10記 [3] 放物線の一部 ， を 軸のまわりに回転してできる回転体型の容器に水を満たし，このなかに，半径 の鉛の球を，それが容器につかえて止るまでゆっくり沈めた．ただし，鉛直線を 軸とする。このとき次の問いに答えよ．(1) もとの水面の高さか…

[2] 平面において，直線 と点 の距離を と書くことにする．さらに，相異なる3点 が与えられたとき とおく．(1)ある与えられた直線に平行な直線のうち， を最小にする直線 は三角形 の重心を通ることを示せ．(2) 異なる 3 本の直線が を最小にするならば，三…

2020.08.10記 [1] を 以上の自然数とする． 平面上，原点を中心とし，点 をひとつの 頂点にもつ正 角形を とする．(1) の像が に完全に重なるような1次変換を表わす行列をすべて求めよ．(2) (1)で求めた行列すべての和を求めよ．2020.08.10記 [大人の解答] …

2024.01.07記 [1] を 以上の自然数とする． 平面上，原点を中心とし，点 をひとつの 頂点にもつ正 角形を とする．(1) の像が に完全に重なるような1次変換を表わす行列をすべて求めよ．(2) (1)で求めた行列すべての和を求めよ．[2] 平面において，直線 と点…

2020.07.20記 [4] の範囲にある に対し，方程式 の実数解のうち最大のものを ，最小のものを とおく． を求めよ．2020.07.20記 と の交点の 座標の最大のものが ，最小のものが だから、（とおく） はの座標が最大の枝と最小の枝で挟まれた部分の面積になる…

2024.01.07記 [3] 空間内の原点を中心とする半径 の球面 を考え， 上の定点を とする． とことなる 上の点 に対し，直線 と 平面の交点を とする． を正の定数とし，点 が ，，， を満たしながら動くとき，対応する点 の動く範囲を 平面上に図示せよ．本問の…

2024.01.07記 [2] 整数からなる数列 を漸化式 ，，（，，……）で定める． が偶数となる を決定せよ．1993年(平成5年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の(1)と同じ．

2024.01.07記 [1] 3次関数 は極大値と極小値をもち，それらを区間 内でとるものとする．この条件をみたすような実数の組 の範囲を 平面上に図示せよ．2024.01.09記 [解答] が に相異2実解をもつ条件を求めれば良く，(i) 判別式正により ，つまり (ii) により…

2024.01.07記 [1] 3次関数 は極大値と極小値をもち，それらを区間 内でとるものとする．この条件をみたすような実数の組 の範囲を 平面上に図示せよ．[2] 整数からなる数列 を漸化式 ，，（，，……）で定める． が偶数となる を決定せよ．[3] 空間内の原点を…

2024.01.07記 [6] 時刻 における座標が ， で表される 平面上の点 の運動を考える．(1) の速さ，すなわち速度ベクトル の大きさ，の最大値と最小値を求めよ．(2) が の範囲を動く間に が 回以上通過する点が唯一つ存在することを示し，その点を通過する各々…

2024.01.07記 [5] と を 個ならべた列 をある人が繰返し書き写すとする．ただし，この列を で表し，これの第1回の写しを で表すとき，第2回目に書き写すときは を書き写す．の写しを とするとき，第3回目には を書き写す．以下同様に続ける．この人が を に…

2024.01.07記 [4] を 以上の自然数とし （，は実数）の形の 次関数について積分 を考える． を最小にするような が唯一組存在することを示し，そのような と の最小値を求めよ．本問のテーマ Legendre 多項式 回帰直線 2024.01.09記 何も考えずに解くのが一…

2024.01.07記 [3] 平面内に次の二つの集合 ， を考える． ，， 上にない 点 ， に対し， ， を ， と交らない線分又は折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値を で表す． 点， に対し となる点 の軌跡を 平面上に図示せよ．本問のテーマ ホイヘンスの原理（と…

2024.01.07記 [2] 整数からなる数列 を漸化式 ，，（，，…） によって定める．(1) が偶数となることと， が の倍数となることは同値であることを示せ．(2) が の倍数となるための条件を(1)と同様の形式で求めよ．2024.01.08記 [解答] (1) mod 2 で考える． …

2024.01.07記 [1] すべての面が合同な四面体 がある．頂点 ，， はそれぞれ ，， 軸上の正の部分にあり，辺の長さは ，，（）である．四面体 の体積を とするとき，次の極限値を求めよ． 本問のテーマ 等面四面体 2024.01.08記 の定義域が のため を に近づ…

2024.01.07記 [1] すべての面が合同な四面体 がある．頂点 ，， はそれぞれ ，， 軸上の正の部分にあり，辺の長さは ，，（）である．四面体 の体積を とするとき，次の極限値を求めよ． [2] 整数からなる数列 を漸化式 ，，（，，…） によって定める．(1) …