2024.03.25記 [1] を実数とし，座標空間内の 点 ，， を考える．以下の問いに答えよ．(1) ， のとき， 点 ，， は一直線上にないことを示せ．(2) が の範囲を動くとき，三角形 の面積の最大値を求めよ．[2] 整式 について，以下の問いに答えよ．(1) をみたす…

2025.05.10記 [5] 1から20までの目がふられた正20面体のサイコロがあり，それぞれの目が出る確率は等しいものとする． ， の2人がこのサイコロをそれぞれ一回ずつ投げ，大きな目を出した方はその目を得点とし，小さな目を出した方は得点を0とする．また同じ…

2025.05.10記 [4] 次の式 ， ，（ ）で定められる数列 を考える．(1) 数列 の一般項を求めよ．(2) 次の不等式 を満たす最小の自然数 を求めよ．ただし， であることは用いてよい．本問のテーマ 商による誤差の伝播を利用した評価（対数） マクローリン展開に…

2014年(平成26年)京都大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2025.05.10記 [2] を実数とする． のグラフ へ点 から接線を引く．(1) 接線がちょうど1本だけ引けるような の範囲を求めよ．(2) が(1)で求めた範囲を動くとき， から へ引いた接線と で囲まれた部分の面積を とする． の取りうる値の範囲を求めよ．本問のテ…

2025.05.10記 [1] とする． についての4次方程式 は虚数解を少なくとも1つ持つことを示せ．2025.06.02記 「判別式の和が負なので少なくとも片方は負」という論法は残念ながら使えない． [解答] …① の判別式は ，…② の判別式は である．(i) のとき より，②が…

2025.05.10記 [1] とする． についての4次方程式 は虚数解を少なくとも1つ持つことを示せ．[2] を実数とする． のグラフ へ点 から接線を引く．(1) 接線がちょうど1本だけ引けるような の範囲を求めよ．(2) が(1)で求めた範囲を動くとき， から へ引いた接線…

2025.05.10記 [6] 双曲線 の第1象限にある部分と，原点 を中心とする円の第1象限にある部分を，それぞれ ， とする． と は2つの異なる点 ， で交わり，点 における の接線 と線分 のなす角は であるとする．このとき， と で囲まれる図形の面積を求めよ．本…

2025.05.10記 [5] 自然数 ， はどちらも3で割り切れないが， は81で割り切れる．このような ， の組 のうち， の値を最小にするものと，そのときの の値を求めよ．2025.06.01記 京大の好きな mod 3 で考える． [解答] であるから， は3の倍数となり，よって …

2025.05.10記 [4] 実数の定数 ， に対して，関数 を で定める．すべての実数 で不等式 が成り立つような点 の範囲を図示せよ．2025.06.01記 入試で良く問われる分数関数の形が頭に入っているかを確認する問題． は分母が0にはならないので全実数で連続であり…

2025.05.10記 [3] は，条件 ， を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする． このとき， を求めよ．2025.05.29記 [解答] より である．正弦定理より であるから， となる． は ， の係数が正であることから （）の範囲で単調減少となり は上に凸と…

2025.05.10記 [2] 2つの粒子が時刻 において の頂点 に位置している．これらの粒子は独立に運動し，それぞれ1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする．たとえば，ある時刻で点 にいる粒子は，その1秒後には点 または点 にそれぞれ の確率で移動する．…

2025.05.10記 [1] 座標空間における次の3つの直線 ，， を考える： は点 を通り，ベクトル に平行な直線である． は点 を通り，ベクトル に平行な直線である． は点 を通り，ベクトル に平行な直線である． を 上の点として， から ， へ下ろした垂線の足を…

2025.05.10記 [1] 座標空間における次の3つの直線 ，， を考える： は点 を通り，ベクトル に平行な直線である． は点 を通り，ベクトル に平行な直線である． は点 を通り，ベクトル に平行な直線である． を 上の点として， から ， へ下ろした垂線の足を…

2025.05.10記 [1] 座標空間における次の3つの直線 ，， を考える： は点 を通り，ベクトル に平行な直線である． は点 を通り，ベクトル に平行な直線である． は点 を通り，ベクトル に平行な直線である． を 上の点として， から ， へ下ろした垂線の足を…

問題：2014年(平成26年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2014年(平成26年)東京大学前期-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISRの (3) まで

問題：2014年(平成26年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2022.03.09記 パラメータの2次式で表される図形の包絡線をファクシミリの原理を用いた求める典型的な問題．折れ線が 軸対称になることはすぐにわかるので，パラメータ をう…

問題：2014年(平成26年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2014年(平成26年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISRの (2) まで

問題：2014年(平成26年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2022.03.09記 [解答] (1) より の最大値は である．(2) により であるから は で極小値 をとる．解と係数の関係を利用すると と因数分解できるので増減表は のようになる．…

2020.10.01記 2014年(平成26年)東京大学前期-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2014年(平成26年)東京大学前期-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2014年(平成26年)東京大学前期-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIIS…

問題：2014年(平成26年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2022.03.08記 パラメータの2次式で表される図形の包絡線をファクシミリの原理を用いた求める典型的な問題．結果が 軸対称になることはすぐにわかるので，パラメータ をうま…

問題：2014年(平成26年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2022.03.08記 漸化式で定まる整数に値をとる数列の余りは途中から周期をもつが，特に漸化式をうまく逆に辿ることができるなら，その周期は初項から始まる。 で となること…

問題：2014年(平成26年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2022.03.07記 [解答](1) より ， より から ， より であるから， (2) がすべての実数について成立する． つまり であるから， において が成立する．ここで により である…

問題：2014年(平成26年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2022.03.07記 や は常識． [解答](1) 共有点の 座標は の解だから，この判別式が正または0となれば良く， つまり よって となり， となる．(2) ， により となる．解と係数…

問題：2014年(平成26年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2020.10.22記 チェザロ平均(3) の答は に一致する． [大人の解答](1) ，．(2) を解いて ．(3) により，チェザロ平均も同じ値に収束するので． 2022.03.07記 [解答](1) であ…

問題：2014年(平成26年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2020.10.02記 [解答] 平行四辺形の 平面への正射影の面積を のように書くとすると (1) から (2) とおくと， から ， より から であるから，となり， つまり， となる． よ…

2020.10.01記 2014年(平成26年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2014年(平成26年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2014年(平成26年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2014年(平…