2023.02.16記 [4] ボタンを1回押すたびに1，2，3，4，5，6のいずれかの数字が1つ画面に表示される機械がある．このうちの1つの数字が表示される確率はであり，以外の数字が表示される確率はいずれも等しいとする．ただし，はを満たす自然数とする．ボタンを1…

2022.07.24記 [3] 数列 ， を （） （） と定めるとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．(1) を示せ．(2) を示せ．(3) を示せ．(4) のとき であることを用いて， を示せ．(5) を求めよ． 本問のテーマ メルカトル級数 2023.10.29記 [解答] …

2024.08.03記 [2] 四面体 がある．線分 ，，， 上にそれぞれ点 ，，， がある．点 ，，， は同一平面上にあり，四面体のどの頂点とも異なるとする．このとき下記の設問に答えよ．(1) と が平行であるとき，等式 が成り立つことを示せ．(2) と が平行でないと…

2023年(令和5年)大阪大学-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2023.07.26記 [1] 実数 ， が と を満たすとき，不等式 が成り立つことを示せ．2023.07.26記 [解答] 実数 ， が と を満たすので ，（，） とおくことができる．このとき であるから，題意は成立する．2023.12.15記 色々なところにあるが，加法定理の図形的…

2023.07.26記 [1] すべての実数 に対して定義された関数 で，必ずしも連続とは限らないものを考える．いま， がさらに次の性質を持つとする． ，，． このとき，以下を示せ．(1) すべての有理数 に対して である．(2) 実数 について， ならば である．(3) す…

2023.07.26記 [2] 数列をで定める． このとき であることを，以下の手順で示せ．(1) 数列を で定める． のとき （） であることを用いて， であることを示せ．(2) すべての自然数 に対して が成り立つことを示せ．(3) であることを示せ．(4) であることを示…

2020.09.18記 の範囲で定義された関数 で，次の2つの条件を満たすものを考える．（） は で微分可能で，そこでの微分係数は1 である(1) に対し が成り立つことを示せ．(2) は の範囲で微分可能であることを示し，導関数 を求めよ．(3) を求めよ．本問のテー…

2025.05.10記 [5] ，，，， を正の有理数として整式 を考える．すべての正の整数 に対して は整数であるとする．このとき， は で割り切れることを示せ．2025.06.15記 2015年(平成27年)京都大学-数学(理系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の実数が有…

2025.05.10記 [4] 空間の中で， を中心とする半径1の球面 を考える．点 が 以外の 上の点を動くとき，点 と点 の2点を通る直線 と平面 との交点を とおく． の動く範囲を求め，図示せよ．本問のテーマ 円錐曲面 2025.06.15記 [解答] とおくと， により であ…

2025.05.10記 [3] 6個の点 ，，，，， が下図のように長さ1の線分で結ばれているとする．各線分をそれぞれ独立に確率 で赤または黒で塗る．赤く塗られた線分だけを通って点 から点 に至る経路がある場合はそのうちで最短のものの長さを とする．そのような経…

2015年(平成27年)京都大学-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2025.05.10記 [1] 直線 が， のグラフとは交わるが， のグラフとは交わらないような の範囲を図示し，その面積を求めよ．2025.06.14記 [解答] 直線 が のグラフと交わる（共有点を持つ）条件は の判別式が非負，つまり である．また直線 が のグラフとは交わ…

2025.05.10記 [1] 直線 が， のグラフとは交わるが， のグラフとは交わらないような の範囲を図示し，その面積を求めよ．[2] 次の2つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ．(a) 少なくとも2つの内角は である．(b) 半径1の円が内…

2025.05.10記 [6] 2つの関数を ， とおく． から始め，各 ，， について，それぞれ確率 で または と定める．このとき， となる確率 を求めよ．本問のテーマ ベルヌーイ写像 2進数 2025.06.14記 ベルヌーイ写像 パイこね変換 - 球面倶楽部 零八式 mark II を…

2025.05.10記 [5] ，，，， を正の実数として整式 を考える．すべての正の整数 に対して は整数であるとする．このとき， は で割り切れることを示せ．本問のテーマ 多項式は階差をとると次数が1つ下がる 2025.06.09記 [解答] を満たす実数 が存在する． は…

2025.05.10記 [4] 一辺の長さが1の正四面体 において， を辺 の中点とし，点 が辺 上を動くとする．このとき， の最大値を求めよ．本問のテーマ 等面四面体と直方体 2025.06.09記 等面四面体は直方体の中にはいるので座標を設定し易い．正四面体の一辺の長さ…

2025.05.10記 [3](1) を実数とするとき， を通り， に接する直線がただ1つ存在することを示せ．(2) として，，， について， を通り， に接する直線の接点の 座標を とする．このとき， を求めよ．2025.06.09記 [解答] (1) の における接線 が を通るとき が…

2025.05.10記 [2] 次の2つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ．(a) 少なくとも2つの内角は である．(b) 半径1の円が内接する．ただし，円が四角形に内接するとは，円が四角形の4つの辺すべてに接することをいう．2025.06.09記 …

2025.05.10記 [1] 2つの関数 と のグラフの の部分で囲まれる領域を， 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．ただし， と は領域を囲む線とは考えない．2025.06.09記 となる． [解答] と のグラフの における交点の 座標は ， から （ とおく）…

2025.05.10記 [1] 2つの関数 と のグラフの の部分で囲まれる領域を， 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．ただし， と は領域を囲む線とは考えない．[2] 次の2つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ．(a) 少な…

問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2021.03.23記 2015年(平成27年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR で BCD の区別をなくしたもの．フィボナッチではないが，階段を1段または2段…

問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2021.03.23記 [解答](ii) により， から2円に引いた接線の長さは等しいので， と 軸の接点は である．このとき， の中心は であるから，半径の和と中心間距離が等しいとい…

問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2021.03.23記 [解答] を通る2次以下の関数は である． (i) の条件をみたすとき， で，頂点の座標は であるから， をみたす．つまり の範囲は の の通過範囲のうち をみたす…

問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2021.03.23記 [解答]命題Aについて とおくと， だから，増減表を考えると， で極小値をとるので， は または で最小値をとる． となるので，これが反例となり，よって命題A…

2020.10.01記 2015年(平成27年)東京大学前期-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2015年(平成27年)東京大学前期-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2015年(平成27年)東京大学前期-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIIS…

問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 本問のテーマ ディラックのデルタ関数 2020.09.16記 [解答] (1) であるから、 である．この区間外では だから、 が成立する． [大人の解答] (2) である．極限と積分の順序…

問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR を 以下の正の整数とする． が偶数となる最小の を求めよ．2019.01.11記解説:を2つの数の和に分解したとき、足し算に繰り上がりが生じる最小のを求めれば良い。そのために…

問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2021.03.23記 [解答](1) とおくと， より は定数数列となって題意は示された．(2) (1)より だから，(3) (2) より は ，， という漸化式をみたす数列である．一方， である…

問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2021.03.23記 [解答](1) とおくと となるので， の増減表は … … となる．よって の解が1つのみである必要十分条件は ，つまり となり，このとき の 座標は である．(2) だ…