2023.12.20記 [5] 空間において， 点 ，， を頂点とする三角形 を考える．以下の問に答えよ．(1) を求めよ．(2) に対し，線分 ， と平面 との交点をそれぞれ ， とする．点 ， の座標を求めよ．(3) に対し，点 と線分 の距離を で表せ．ただし，点と線分の距…

2023.12.20記 [4] 複素数平面上に 点， がある．ただし， は虚数単位である．複素数 に対し で表される点 を考える．以下の問に答えよ．(1) ，， のときの をそれぞれ計算せよ．(2) 実数 に対し とする． について， の実部を求め，さらに を求めよ．(3) と…

2023.12.20記 [3] 実数 に対して関数 を で定め，正の実数 に対して関数 を で定める．また， のグラフをそれぞれ， とする．以下の問に答えよ．(1) と がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ．(2) 直線 と が 点で交わることを示せ．ただし，必要なら を…

2023.12.20記 [1] 赤玉と黒玉が入っている袋の中から無作為に玉を1つ取り出し，取り出した玉を袋に戻した上で，取り出した玉と同じ色の玉をもう1つ袋に入れる操作を繰り返す．以下の問に答えよ．(1) 初めに袋の中に赤玉が1個，黒玉が1個入っているとする． …

2023.12.20記 [1] を自然数として，整式 を で割った余りを とおく．以下の問に答えよ．(1) と を，それぞれ と を用いて表せ．(2) 全ての に対して， と は で割り切れないことを示せ．(3) と を と で表し，全ての に対して， つの整数 と は互いに素であ…

2023.12.16記 [3] 何も入っていない2つの袋A，Bがある．いま，「硬貨を1枚投げて表が出たら袋A，裏が出たら袋Bを選び，以下のルールに従って選んだ袋の中に玉を入れる」という操作を繰り返す． ルール・選んだ袋の中に入っている玉の数がもう一方の袋の中に…

2023.12.03記 [2] 分母が奇数，分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする．例えば ， はそれぞれ ， と表せるから，ともに控えめな有理数である． 個以上の有理数の控えめな有理数 ，， に対して，集合 を， と定める．例えば は…

2023.11.27記 を自然数として， を求めよ．2023.11.27記 1989年(昭和64年)東京工業大学-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2023年(令和5年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同様にすれば暗算でできる． [大人の解答] で…

2023年(令和5年)大阪大学-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2023.11.27記 [2] 正の実数， に対して， とする．(1) とするとき， を， を用いて表せ．(2) が の範囲を動くとき， の最大値 を を用いて表せ．2023.11.27記 は基本．最大・最小の候補は端点または極値 [解答] (1) (2) が の範囲を動くとき， である． とお…

2023.11.27記 [1] ， を実数とする． についての方程式 が実数解をもつような点 の存在範囲を座標平面上に図示せよ．包絡線の知識を知っていれば 平面の直線 は で に接することから，答を確認できる．2023.11.27記 [解答] とおくと の における値域を求めれ…

2023.11.27記 [5] 1個のさいころを 回投げて， 回目に出た目を とする． を により定義し， が7の倍数となる確率を とする．(1)， を求めよ．(2)数列 の一般項を求めよ．2023.11.27記 サイコロの目が1〜6，7が素数となることがポイントとなる絶妙な問題． […

2023.11.26記 [4] ， を かつ をみたす実数の定数とする．座標空間の点 と点 をとる．点 を通り直線 と垂直な平面を とし，平面 と直線 との交点を とする．(1) が成り立つことを示せ． (2) をみたすように点 が 平面上を動くとき，点 の軌跡を求めよ．円錐…

2023.11.26記 [3] を座標平面上の点とし，点 の座標を とする． の範囲にある実数 のうち，曲線 上の点 における接線が点 を通る という条件をみたすものの個数を とする． かつ をみたすような点 の存在範囲を座標平面上に図示せよ．2023.11.26記 凸な弧に…

2023.11.26記 [2] 平面上の3点，， が かつ をみたすとする．(1) を 求めよ．(2)平面上の点 が かつ をみたすように動くとき， の最大値と最小値を求めよ．2023.11.26記 こんなに があると3倍したくなる．すると が に見えてきて， という関係式に気付く． […

2023.11.24記 (1) とおくとき， を求めよ．(2) とおくとき， を求めよ．(3) を示せ．本問のテーマ メルカトル級数 交代調和級数2023.11.24記 2023年(令和5年)大阪大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の類題．阪大の と の関係があるので，…

2023.11.24記 [3] 数列 ， を により定める．次の問いに答えよ．(1) を求めよ．(2) （）を示せ．(3) を求めよ．本問のテーマ メルカトル級数 交代調和級数2023.11.24記 [解答] (1) ，，(2) であり， であるから，帰納的に (3)

2023.11.24記 [1] を2以上の自然数とする．(1) のとき，次の不等式が成り立つことを示せ． (2) とするとき，次の極限値を求めよ． 本問のテーマ メルカトル級数 交代調和級数2023.11.24記 と があれば，前者を0から1まで積分しろということに気付くだろう．…

2023.11.23記 [5] 整式 が恒等式 を満たすとき， を求めよ．2023.11.23記 [解答] ， ， とおくと， となるので， が成立する．よって ， ， が成立する．整理して ， ， となり，これを解いて となり， 深く考えずに文字を設定したら連立方程式が難しくなっ…

2023.11.23記 [4] 数列 は次の条件を満たしている． （） ただし， である． このとき，数列 の一般項を求めよ． 2023.11.23記 [解答] （） であり，これは でも成立する．よって とから， つまり （） が成立する．よって が成立する．ここで とおくと なる…

2023.11.23記 [3] (1) と を の式として表せ．(2) 半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さが より大きいか否かを理由を付けて判定せよ．2023.11.23記 [解答] (1) 加法定理により ， となる．(2) 半径1に内接する5角形の1辺の長さは である． とおくと が成…

2023年(令和5年)京都大学-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2023.11.23記 [1] 次の各問に答えよ．問1 を自然数とする．1個のさいころを 回投げるとき，出た目の積が5で割り切れる確率を求めよ．問2 次の式の分母を有理化し，分母に3乗根の記号が含まれない式として表せ． 2023.11.23記 問2 分母それぞれの成分を3乗し…

2023.11.23記 [6] を3以上の素数とする．また， を実数とする．(1) と を の式として表せ．(2) のとき， となるような正の整数 ， が存在するか否かを理由を付けて判定せよ． 本問のテーマ チェビシェフ多項式 2023.11.23記 [解答] (1) 加法定理を繰り返し用…

2023.11.23記 [5] を原点とする 空間において，点 と点 は次の3つの条件(a)，(b)，(c)を満たしている．(a) 点 は 軸上にある．(b) 点 は 平面上にある．(c) 線分 と線分 の長さの和は1である．点 と点 が条件(a)，(b)，(c)を満たしながらくまなく動くとき，…

2023.11.23記 [4] 次の関数 の最大値と最小値を求めよ． ただし， は自然対数の底であり，その値は である．2023.11.23記 [解答] とおくと， の の値域は， であるから， となる は の定義域に入らず， 定義域で であるから，単調減少となり， が成立する．…

2023.11.23記 [3] を自然数とする．1個のさいころを 回投げ，出た目を順に とし， 個の数の積 を とする．(1) が5で割り切れる確率を求めよ．(2) が15で割り切れる確率を求めよ． 2023.11.23記 [解答] (1) 少くとも1回5が出れば良いので，求める確率は (2) …

2023.11.23記 [2] 空間内の4点 ， ， ， は同一平面上にないとする．点 ， ， を次のように定める．点 は を満たし，点 は線分 を に内分し，点 は線分 の中点である．さらに，直線 上の点 を，直線 と直線 が交点を持つように定める．このとき，線分 の長さ…

2023.11.23記 [1] 次の各問に答えよ．問1 定積分 の値を求めよ．問2 整式 を整式 で割ったときの余りを求めよ．2023.11.23記 [解答] 問1 と置換すると であり， となる．さらに と置換すると で 問2 に注意すると， であるから，求める余りは

2023.11.22記 [4] 半径1の球面上の相異なる4点，，，が，，， を満たしているとする．(1) 三角形の面積を求めよ．(2) 四面体の体積を求めよ．2023.11.23記 [解答] (1) の中点を とおき，とおくと， は鋭角で より ， となる．よって となり， となる．ゆえに…