半径 の円 のまわりに一辺の長さ の正三角形 を円 と同一平面内で次の二条件を満たしながら可能な限り移動させる．(i) は円 の内部と共有点を持たず，円 の周とただ一点を共有する．(ii) ベクトル ，， はそれぞれ一定に保たれる．このとき， の通過し得る範…

[3] 虚部が正の複素数の全体を とする． すなわち，とする．以下 を に属する複素数とする． を正の実数とし， とおく．(1) もまた に属することを示せ．(2) と書き，以下 に対して ，，，， とおく．このとき，各 に対して が成り立つような によらない実数…

[2] に対して次の二つの放物線を考える． (1) の両方に接するような直線がつねに 本存在することを示せ．(2) (1)で定まる四つの接点が作る四角形の面積 の最小値を求めよ．2021.01.23記 放物線は相似． [解答] と は頂点の中点 について点対称である． は の…

1989年(昭和64年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ2021.06.11記懐しい資料が見つかった 代入して計算しても不可能ではないが，与式の対称性をどのように利用するか．

[1] とする． 平面上の二曲線 が第1象限に なる交点 をもつような の範囲を求めよ．[2] に対して次の二つの放物線を考える． (1) の両方に接するような直線がつねに 本存在することを示せ．(2) (1)で定まる四つの接点が作る四角形の面積 の最小値を求めよ．[…

[6] 3個の赤玉と 個の白玉を無作為に環状に並べるものとする．このとき白玉が連続して 個以上並んだ箇所が現れない確率を求めよ．ただし とする．2021.01.23記 「場合の数」のときは、回転して重なるものを同一視しなければならないので面倒だが， 確率の場…

[5] とする． のグラフの の部分と 軸とで囲まれた図形を 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 は で与えられることを示し，この値を求めよ．2021.01.23記 バームクーヘン積分に東大がお墨付きをあたえたとされる入試問題． 結局は置換積分と部分積分． …

[4] の整数部分のけた数と，1の位の数字を求めよ．ただし， を用いてよい．2021.01.23記 をどう捻り出すかがポイント． Putnam に類題があるのも有名． [解答] より整数部分は 200桁． で とおくことにより, が成立する． によ だから の1の位の数字は の1の…

[3] 虚部が正の複素数の全体を とする．すなわち，とする．以下 を に属する複素数とする． を正の実数とし， とおく．(1) もまた に属することを示せ．(2) と書き，以下 に対して ，，，， とおく．このとき， のすべての元 に対して が成立するような の値…

[2] 平面上に を準線，点 を焦点とする放物線がある．この放物線上の点 を中心として，準線に接する円 を描き，接点を とする． とし，円 と 軸との交点のうち と異なるものを とする．扇形 （中心角の小さい方）の面積を ，三角形 の面積を とするとき， と…

[1] とする． 平面上の二曲線 が第1象限に なる交点 をもつような の範囲を求めよ．2019.04.03記 [解答] であるから，和および差をやで割ることにより、 であるから，この2曲線がなる交点を第1象限にもつ範囲を考えて 2019.06.14記 [解答] (途中から)なる実…

[1] とする． 平面上の二曲線 が第1象限に なる交点 をもつような の範囲を求めよ．[2] 平面上に を準線，点 を焦点とする放物線がある．この放物線上の点 を中心として，準線に接する円 を描き，接点を とする． とし，円 と 軸との交点のうち と異なるもの…