2020年(令和2年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR に同じ

2020.10.14記 [3] を原点とする座標平面において，放物線 のうち を満たす部分を とする．(1) 点 が 上を動くとき， を端点とする半直線 が通過する領域を図示せよ．(2) 実数 に対して，直線 を考える．次の条件を満たす の範囲を求めよ． 上の点 と 上の点 …

2020.10.14記 [2] 座標平面上に8本の直線 ， がある．以下，16個の点 から異なる5個の点を選ぶことを考える．(1)次の条件を満たす5個の点の選び方は何通りあるか．上の8本の直線のうち，選んだ点を1個も含まないものがちょうど2本ある．(2)次の条件を満たす5…

2020.10.14記 [1] ，とする．座標平面上の曲線 が，以下の2条件を満たすとする．条件1：Cは 軸に接する．条件2： 軸とCで囲まれた領域（境界は含まない）に， 座標と 座標がともに整数である点がちょうど1個ある． を で表し， のとりうる値の範囲を求めよ．…

2020.10.14記 [1] ，とする．座標平面上の曲線 が，以下の2条件を満たすとする．条件1：Cは 軸に接する．条件2： 軸とCで囲まれた領域（境界は含まない）に， 座標と 座標がともに整数である点がちょうど1個ある． を で表し， のとりうる値の範囲を求めよ．…

2020.10.14記 [6] 以下の問いに答えよ．(1) ， を実数とする． の方程式 を考える． のとき，この方程式は の範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ．(2)座標平面上の楕円 を考える．また，を満たす実数 に対して，不等式 が表す領域を とする． 内のすべ…

2020.10.14記 [5] 座標空間において， 平面上の原点を中心とする半径1の円を考える．この円を底面とし，点 を頂点とする円錐（内部を含む）を とする．また，点 を考える．(1) 点 が の底面を動くとき，線分 が通過する部分を とする．平面 による の切り口…

2020.10.14記 [4] ， を， を満たす整数とする． 個の整数 から異なる 個を選んでそれらの積をとる． 個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる 個の整数の和を とおく．例えば， である．(1) 2以上の整数 に対し， を求めよ．(2) …

2020.10.14記 [3] を満たす実数 に対して， とする．座標平面上の点 を考える．(1) における の関数 は単調に減少することを示せ．(2) 原点と の距離を とする． における の関数 の増減を調べ，最大値を求めよ．(3) が を動くときの の軌跡を とし， と 軸…

2020.10.14記 [2] 平面上の点 が同一直線上にないとき，それらを3頂点とする三角形の面積を で表す．また， が同一直線上にあるときは， とする．を平面上の3点とし， とする．この平面上の点 が を満たしながら動くとき， の動きうる範囲の面積を求めよ．20…

2020.10.14記 [1] を実数とする．不等式 をすべて満たす実数 の集合と， を満たす実数 の集合が一致しているとする．(1) はすべて0以上であることを示せ．(2) のうち少なくとも1個は0であることを示せ．(3) であることを示せ．2020.02.26記 [解答] (1) と仮…

2020.10.14記 [1] を実数とする．不等式 をすべて満たす実数 の集合と， を満たす実数 の集合が一致しているとする．(1) はすべて0以上であることを示せ．(2) のうち少なくとも1個は0であることを示せ．(3) であることを示せ．[2] 平面上の点 が同一直線上に…