2023.11.24記 (1) とおくとき， を求めよ．(2) とおくとき， を求めよ．(3) を示せ．本問のテーマ メルカトル級数 交代調和級数2023.11.24記 2023年(令和5年)大阪大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の類題．阪大の と の関係があるので，…

2022.11.03記 [2] 実数を成分とする行列 ，， に対して，，， が成り立つとき，次の問いに答えよ．(1) ならば， であることを示せ．(2) のとき， の値を求めよ．(3) の値を求めよ．(4) かつ を満たす2次の正方行列 を1つ求めよ．本問のテーマ 零因子 余因子…

個の実数 が ， を満たすとき、 であるすべての自然数 に対して、 が成り立つことを示せ．2021.01.08記 ローレンツ曲線(と同じ)． 人のうち上位 人の平均点は、全体の平均点以上になる．つまり、 が成立する．これから が成立する，というだけの話であるが，…

2006年(平成18年)京都大学後期-数学(理系)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2025.10.01記 [4] を自然数とし， 平面の次の領域 を考える．ただし，記号 ] は より大きくない最大の整数を表すものとする．このとき の面積を求めよ．2025.10.13記 [解答] () のときに に含まれる領域 は 「 かつ 」， つまり 「 かつ 」 となり，この領域…

2025.10.01記 [2] の内心を とする． が成り立っているとき，この三角形は正三角形であることを示せ．2025.10.13記 内心と重心が一致する三角形が正三角形であることの証明です． [解答] の重心を とすると， であるから， との差をとり，，つまり が成立す…

2025.10.01記 [1] さいころを 個同時に投げるとき，出た目の数の和が になる確率を求めよ．2025.10.13記 2006年(平成18年)京都大学後期-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の を に変えたもの．出た目の数の和が であれば，サイコロの目の上限…

2025.10.01記 [1] さいころを 個同時に投げるとき，出た目の数の和が になる確率を求めよ．[2] の内心を とする． が成り立っているとき，この三角形は正三角形であることを示せ．[3] 次式 ，， に対して が成り立つとする．このとき と はともに の定数倍で…

2025.10.01記 [6] は有理数か．2025.10.13記 出題されたときは出題文の短さで話題になったが，有名になりすぎて解き方が常識になってしまいました． [解答] が有理数であると仮定すると， に を代入して帰納的に計算することにより， が有理数となり矛盾する…

2025.10.01記 [5] ， とする．空間内において，原点 と点 を結ぶ線分を， 軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に水を満たし，原点から水面までの高さが のとき単位時間あたりの排水量が， となるように，水を排出する．すなわち，時刻 までに…

2025.10.01記 [4] 平面上の点 を中心とし半径1の円周上に相異なる3点 ，， がある． の内接円の半径 は 以下であることを示せ．本問のテーマ オイラーの不等式とオイラーの定理（外心と内心の距離） Ravi 変換 反転 Johnson の定理 2025.10.13記 計算主体の…

2025.10.01記 [3] さいころを 個同時に投げるとき，出た目の数の和が になる確率を求めよ．2025.10.13記 出た目の数の和が であれば，サイコロの目の上限 を考慮しなければなりませんが，出た目の数の和が であればサイコロの目の上限を考える必要はありませ…

2025.10.01記 [2] を実数として，行列 を と定める． とし，数列 ， を次の式で定める． ， ，， このとき数列 が収束するための の必要十分条件を求めよ．本問のテーマ 実対称行列の固有ベクトル 2025.10.13記 「実対称行列は固有ベクトルが直交する」とい…

2025.10.01記 [1] 次式 ，， に対して が成り立つとする．このとき と はともに の定数倍であることを示せ．本問のテーマ ブラーマグプタの二平方恒等式（ラグランジュの恒等式） 2025.10.13記 実数係数であれば， の解 を用いて が成り立つので， が導けて…

2025.10.01記 [1] 次式 ，， に対して が成り立つとする．このとき と はともに の定数倍であることを示せ．[2] を実数として，行列 を と定める． とし，数列 ， を次の式で定める． ， ，， このとき数列 が収束するための の必要十分条件を求めよ．[3] さ…

2025.10.01記 [5] ， は自然数で とする．穴のあいた 個の白玉と 個の黒玉にひもを通して輪を作る．このとき適当な2箇所でひもを切って 個ずつの2組に分け，どちらの組も白玉 個，黒玉 個からなるようにできることを示せ．本問のテーマ ネックレスの定理（ハ…

2006年(平成18年)京都大学前期-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2006年(平成18年)京都大学前期-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2025.10.01記 [2] 座標空間に4点 ，，， がある．3点 ，， を通る平面に関して点 と対称な点を とするとき，点 の座標を求めよ．2025.10.13記 空間における平面に関する対称点を求めるには正射影ベクトルを使うのが一般的だが，座標の位置関係が単純なので暗…

2025.10.01記 [1] 放物線 と2直線 ， は1点で交わるという．このとき実数 の値を求めよ．2025.10.12記 [解答] と が交点をもつときは のときであり，交点の座標は となる．これが 上にあるので となる．整理して となるので となる．登場する式は実質的に同…

2025.10.01記 [1] 放物線 と2直線 ， は1点で交わるという．このとき実数 の値を求めよ．[2] 座標空間に4点 ，，， がある．3点 ，， を通る平面に関して点 と対称な点を とするとき，点 の座標を求めよ．[3] を2次式とする．整式 は では割り切れないが， …

2025.10.01記 [6] として，関数 を で定める． が の範囲を動くとき， の最大値を求めよ．2025.10.12記 となることを使います． [解答] であるから増減表は 極大 となるので，求める最大値は となる．もちろん，どのみち を求めることになるので，一見遠回り…

2025.10.01記 [5] に対し，辺 上に点 を，辺 上に点 を，辺 上に点 を，頂点とは異なるようにとる．この3点がそれぞれの辺上を動くとき，この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ．本問のテーマ のアファイン射影 重心座標 2025.10…

2025.10.01記 [4] 以上の自然数 に対し， と がともに素数になるのは の場合に限ることを示せ．2025.10.04記 京大の好きな mod 3 で考える． [解答] と書ける場合， は の倍数となり題意は満たさない． と書ける場合， が素数となるのは のみで，このとき も…

2025.10.01記 [3] 関数 のグラフは，座標平面で原点に関して点対称である．さらにこのグラフの の部分は，軸が 軸に平行で，点 を頂点とし，原点を通る放物線と一致している．このとき におけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図…

2025.10.01記 [2] 点 を原点とする座標空間の3点を ，， とする．線分 と線分 が交点を持つような実数 が存在することを示せ．またそのとき，交点の座標を求めよ．2025.10.04記 [解答] を変化させると 直線 は ，， を通る平面 を描く．この平面と直線 上の…

2025.10.01記 [1] を2次式とする．整式 は では割り切れないが， は で割り切れるという．このとき2次方程式 は重解を持つことを示せ．2025.10.03記 [解答] 複素数係数の2次式は複素数の範囲で と因数分解できる． と仮定すると， は で割り切れるので「 ま…

2025.10.01記 [1] を2次式とする．整式 は では割り切れないが， は で割り切れるという．このとき2次方程式 は重解を持つことを示せ．[2] 点 を原点とする座標空間の3点を ，， とする．線分 と線分 が交点を持つような実数 が存在することを示せ．またその…

2020.09.09記

2020.09.09記