2024.04.16記 [5] 整数の組 に対して 次式 を考える．方程式 の複素数の範囲のすべての解 に対して となる正の整数 が存在するような組 をすべて求めよ．2024.04.16記(18:47:17) 大数1988年1月号の宿題2番 整数を成分とする適当な2次の正方行列 をとれば， …

2024.04.21記(09:25:59) [4] を正の整数とし， を 枚の硬貨とする．各 に対し，硬貨 を投げて表が出る確率を ，裏が出る確率を とする．この 枚の硬貨を同時に投げ，表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功，というゲームを考える．(1) （）のとき，このゲー…

2024.03.21記 [3] 平面上に，点 ，， （ただし ) をとる．点 ， を通る直線を とし，点 を通り線分 に垂直な直線を とする．さらに，点 を通り 軸に平行な直線と直線 との交点を とし，点 を通り 軸に平行な直線と直線 との交点を とする． 以下， に対して…

2024.04.18記 [2] 実数全体を定義域にもつ微分可能な関数 ， が次の6つの条件を満たしているとする． ，，，，，．このとき， ， とおく．(1) を求めよ．(2) は定数関数であることを示せ．(3) を求めよ．(4) となる正の実数 に対して，媒介変数表示された平…

2024.04.20記 [1] 平面上の曲線 に，点 （）で接する円のうち， 軸の正の部分にも接するものを とおく， が正の実数を動くときの の中心の軌跡を ，とくに の中心を とする．(1) 点 の座標を求めよ．(2) 点 における曲線 の接線の傾きを求めよ．2024.04.20記…

2024.04.20記 [1] 平面上の曲線 に，点 （）で接する円のうち， 軸の正の部分にも接するものを とおく， が正の実数を動くときの の中心の軌跡を ，とくに の中心を とする．(1) 点 の座標を求めよ．(2) 点 における曲線 の接線の傾きを求めよ．[2] 実数全体…

2025.04.07記 [5] 関数 のグラフの の部分を とする．このとき，下の条件を満たすような正の実数 ， について，座標平面の点 が動く領域の面積を求めよ．「 と直線 は二つの異なる共有点を持つ．」本問のテーマ 包絡線 2025.04.07記 [解答] が相異2実解をも…

2025.04.07記 [4] ある自然数を八進法，九進法，十進法でそれぞれ表したとき，桁数がすべて同じになった．このような自然数で最大のものを求めよ．ただし，必要なら次を用いてもよい．， 2025.04.07記 対数の値を近似値ではなく不等式で与えられていることに…

2025.04.07記 [3] は正の定数とする．次の関数の最大値を求めよ．（）2025.04.07記 [解答] であるから，増減表は となる．よって最大値は のとき ， のとき ， のとき ， のとき となる．端点と極大値で考えると次のようになる． [解答] であるから，増減表…

2025.04.07記 [2] 個の異なる色を用意する．立方体の各面にいずれかの色を塗る．各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする．辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を とする．次の問いに答えよ．(1) を求めよ．(2) を求めよ．2025.04.07…

2025.04.07記 [1] 四面体 が次を満たすとする． ，，このとき，四面体 の体積を求めよ．2025.04.07記 なので座標を設定する． [解答] ，，，（）とおくと であり， ，， であるから が成立する．よって から …①，…② が成立する．①から ，つまり となるが①よ…

2025.04.07記 [1] 四面体 が次を満たすとする． ，，このとき，四面体 の体積を求めよ．[2] 個の異なる色を用意する．立方体の各面にいずれかの色を塗る．各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする．辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確…

2025.04.02記 [4] 等式 を満たす連続な関数 および定数 の値を求めよ．2025.04.02記 [解答] ，， とおくと…①が成立する．①に を代入すると である．また①を で微分すると が全ての実数において成立するので …② が成立する．ここで ， であるから， により …③…

2025.04.02記 [3] 自然数 ， に対して ， と定めるとき，2以上の自然数 に対し，次の問いに答えよ．(1) ，，…， の最大公約数を求めよ．(2) ，，…， の最大公約数を求めよ．本問のテーマ 連続 整数の積は の倍数 2025.04.02記 という変形が本質的． [解答] …

2025.04.02記 [2] 中の見えない壺に，6個の赤玉と4個の白玉が入っている．ここから玉を1回に1個取り出し，元に戻さないとする． 個の玉を取り出した時点で，取り出した赤玉の総数を ，白玉の総数を とする．このとき， ，，…， がすべて成り立つ確率を求めよ…

2025.04.02記 [1](5) 平面上の点 を通る傾き の直線 と放物線 が2つの共有点 ， をもつとし，線分 の長さを とする．ここで のとき である．また， となるような の最小の値は である．本問のテーマ 放物線の弦の長さ (4次)相反方程式 2025.04.02記 4次相反…

2025.04.02記 [1](4) とするとき，関数 ， について， の値は であり， の値は である．2025.04.02記 の原始関数を とおくと， である． [解答] を微分して となり，さらに微分して となり， を代入すると， により， ， つまり となる．また， を微分すると…

2025.04.02記 [1](3) である．本問のテーマ 区分求積法 2025.04.02記 （） は と置換すると となる． [解答] となるので， である．

2025.04.02記 [1](2) を満たす自然数の組 は，，， より，組の数は 組である． を満たす自然数 ， に対し， を満たす自然数の組 について組の数は 組である．また， とするとき， を満たす自然数の組 について組の数を の式で表すと 組である．本問のテーマ …

2025.04.02記 [1](1) ，，である において，点 を通り直線 に垂直な直線と点 を通り直線 に垂直な直線の交点を とする．このとき，である．本問のテーマ 内積と正射影 2025.04.02記 [解答] である． とおくと，， であるから，， となり，， となる．よって…

2025.04.02記 [1] 次の問題文の空欄 から にあてはまるものを解答欄に記入せよ．ただし有理数を分数で表す場合は既約分数とせよ．(1) ，，である において，点 を通り直線 に垂直な直線と点 を通り直線 に垂直な直線の交点を とする．このとき，である．(2) …