2023-11-01から1ヶ月間の記事一覧
2023年(令和5年)大阪大学-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ
2023.11.27記 [2] 正の実数, に対して, とする.(1) とするとき, を, を用いて表せ.(2) が の範囲を動くとき, の最大値 を を用いて表せ.2023.11.27記 は基本.最大・最小の候補は端点または極値 [解答] (1) (2) が の範囲を動くとき, である. とお…
2023.11.27記 [1] , を実数とする. についての方程式 が実数解をもつような点 の存在範囲を座標平面上に図示せよ.包絡線の知識を知っていれば 平面の直線 は で に接することから,答を確認できる.2023.11.27記 [解答] とおくと の における値域を求めれ…
2023.11.27記 [5] 1個のさいころを 回投げて, 回目に出た目を とする. を により定義し, が7の倍数となる確率を とする.(1) , を求めよ.(2) 数列 の一般項を求めよ.2023.11.27記 サイコロの目が1〜6,7が素数となることがポイントとなる絶妙な問題. …
2023.11.26記 [4] , を かつ をみたす実数の定数とする.座標空間の点 と点 をとる.点 を通り直線 と垂直な平面を とし,平面 と直線 との交点を とする.(1) が成り立つことを示せ. (2) をみたすように点 が 平面上を動くとき,点 の軌跡を求めよ.円錐…
2023.11.26記 [3] を座標平面上の点とし,点 の座標を とする. の範囲にある実数 のうち,曲線 上の点 における接線が点 を通る という条件をみたすものの個数を とする. かつ をみたすような点 の存在範囲を座標平面上に図示せよ.2023.11.26記 凸な弧に…
2023.11.26記 [2] 平面上の3点,, が かつ をみたすとする.(1) を 求めよ.(2)平面上の点 が かつ をみたすように動くとき, の最大値と最小値を求めよ.2023.11.26記 こんなに があると3倍したくなる.すると が に見えてきて, という関係式に気付く. […
2023.11.24記 [1] を2以上の自然数とする.(1) のとき,次の不等式が成り立つことを示せ. (2) とするとき,次の極限値を求めよ. 本問のテーマ メルカトル級数 交代調和級数2023.11.24記 と があれば,前者を0から1まで積分しろということに気付くだろう.…
2023.11.23記 [5] 整式 が恒等式 を満たすとき, を求めよ.2023.11.23記 [解答] , , とおくと, となるので, が成立する.よって , , が成立する.整理して , , となり,これを解いて となり, 深く考えずに文字を設定したら連立方程式が難しくなっ…
2023.11.23記 [4] 数列 は次の条件を満たしている. () ただし, である. このとき,数列 の一般項を求めよ. 2023.11.23記 [解答] () であり,これは でも成立する.よって とから, つまり () が成立する.よって が成立する.ここで とおくと なる…
2023.11.23記 [3] (1) と を の式として表せ.(2) 半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さが より大きいか否かを理由を付けて判定せよ.2023.11.23記 [解答] (1) 加法定理により , となる.(2) 半径1に内接する5角形の1辺の長さは である. とおくと が成…
2023年(令和5年)京都大学-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ
2023.11.23記 [1] 次の各問に答えよ.問1 を自然数とする.1個のさいころを 回投げるとき,出た目の積が5で割り切れる確率を求めよ.問2 次の式の分母を有理化し,分母に3乗根の記号が含まれない式として表せ. 2023.11.23記 問2 分母それぞれの成分を3乗し…
2023.11.23記 [6] を3以上の素数とする.また, を実数とする.(1) と を の式として表せ.(2) のとき, となるような正の整数 , が存在するか否かを理由を付けて判定せよ. 本問のテーマ チェビシェフ多項式 2023.11.23記 [解答] (1) 加法定理を繰り返し用…
2023.11.23記 [5] を原点とする 空間において,点 と点 は次の3つの条件(a),(b),(c)を満たしている.(a) 点 は 軸上にある.(b) 点 は 平面上にある.(c) 線分 と線分 の長さの和は1である.点 と点 が条件(a),(b),(c)を満たしながらくまなく動くとき,…
2023.11.23記 [4] 次の関数 の最大値と最小値を求めよ. ただし, は自然対数の底であり,その値は である.2023.11.23記 [解答] とおくと, の の値域は, であるから, となる は の定義域に入らず, 定義域で であるから,単調減少となり, が成立する.…
2023.11.23記 [3] を自然数とする.1個のさいころを 回投げ,出た目を順に とし, 個の数の積 を とする.(1) が5で割り切れる確率を求めよ.(2) が15で割り切れる確率を求めよ. 2023.11.23記 [解答] (1) 少くとも1回5が出れば良いので,求める確率は (2) …
2023.11.23記 [2] 空間内の4点 , , , は同一平面上にないとする.点 , , を次のように定める.点 は を満たし,点 は線分 を に内分し,点 は線分 の中点である.さらに,直線 上の点 を,直線 と直線 が交点を持つように定める.このとき,線分 の長さ…
2023.11.23記 [1] 次の各問に答えよ.問1 定積分 の値を求めよ.問2 整式 を整式 で割ったときの余りを求めよ.2023.11.23記 [解答] 問1 と置換すると であり, となる.さらに と置換すると で 問2 に注意すると, であるから,求める余りは
2023.11.22記 [4] 半径1の球面上の相異なる4点,,,が,,, を満たしているとする.(1) 三角形の面積を求めよ.(2) 四面体の体積を求めよ.2023.11.23記 [解答] (1) の中点を とおき,とおくと, は鋭角で より , となる.よって となり, となる.ゆえに…
2023年(令和5年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR に同じ
2023.11.22記 [2] 座標平面上の放物線 を とおき,直線 を とおく.実数 に対し, 上の点 と の距離を とする.(1) の範囲の実数 に対し,定積分 を求めよ.(2) が の範囲を動くとき, の最大値および最小値を求めよ.2023.11.23記 [解答] (1) 点と直線の距…
2023.11.22記[1] を正の実数とし,2次方程式 の2つの実数解を , とする. が の範囲を動くとき, の最小値を求めよ.2023.11.23記 [解答] , は , , をみたすので, となるので,この値の における最小値は AM-GM 不等式により (等号成立は から ) とな…
2023.11.22記 [6] を原点とする座標空間において,不等式 ,, の表す立方体を考える.その立方体の表面のうち, を満たす部分を とする.以下,座標空間内の2点 , が一致するとき,線分 は点 を表すものとし,その長さを と定める.(1) 座標空間内の点 が…
2023.11.22記 [5] 整式 を考える.(1) を実数を係数とする整式とし, を で割った余りを とおく. を で割った余りと を で割った余りが等しいことを示せ.(2) , を実数とし,と おく. を で割った余りを とおき, を で割った余りを とおく. が に等しく…
2023.11.22記[4] 座標空間内の4点 ,,, を考える.(1) ,, を満たす点 の座標を求めよ.(2) 点 から直線 に垂線を下ろし,その垂線と直線 の交点を とする. を と を用いて表せ.(3) 点 を により定め, を中心とする半径 の球面 を考える. が三角形 と…
2023.11.22記 [3] を実数とし,座標平面上の点 を中心とする半径1の円の周を とする.(1) が,不等式 の表す領域に含まれるような の範囲を求めよ.(2) は(1)で求めた範囲にあるとする. のうち かつ を満たす部分を とする. 上の点 に対し,点 での の接線…
2023.11.22記[1] (1) 正の整数 に対し, とおく.次の不等式が成り立つことを示せ. (2) 正の整数 に対し, とおく.極限 を求めよ.2023.11.22記 (1) 積分を で評価したいので とおいて を作って と結びつける.(2) 形から区分求積法.(1)の両辺の区分求積…
2023.11.22記[1] を正の実数とし,2次方程式 の2つの実数解を , とする. が の範囲を動くとき, の最小値を求めよ.[2] 座標平面上の放物線 を とおき,直線 を とおく.実数 に対し, 上の点 と の距離を とする.(1) の範囲の実数 に対し,定積分 を求め…
2023.11.22記 [1] (1) 正の整数 に対し, とおく.次の不等式が成り立つことを示せ. (2) 正の整数 に対し, とおく.極限 を求めよ.[2] 黒玉3個,赤玉4個,白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し,取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる.た…