2022.03.05記 [3] を実数とする。次の条件によって定められる数列 ，， を考える ，（） ，（） ，（） ただし， は を超えない最大の整数とする。以下の問いに答えよ。(1) と を求めよ。(2) （）を示せ。(3) を求めよ。 2022.03.05記 が に収束するならば，…

2022年(令和4年)九州大学前期-数学（III）[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2022.03.05記 [3] を実数とし，整式 を で定める。方程式 が虚数解をもつとき，以下の問いに答えよ。(1) は で割り切れることを示せ。(2) 方程式 は負の実数解をもつことを示せ。(3) 方程式 のすべての実数解が整数であり，すべての虚数解の実部と虚部がとも…

2022.03.06記 [2] 座標空間内の5点 を考える。3点 を通る平面を とし，， とおく。以下の問いに答えよ。(1) ベクトル の両方に垂直であり， 成分が正であるような，大きさが1のベクトル を求めよ。(2) 点 から平面 に垂線を下ろし，その交点を とおく。線分 …

2022.03.05記 [1] を をみたす実数とし，次の曲線 と直線 が接しているとする。 ， 以下の問いに答えよ。(1) の値を求めよ。(2) 曲線 と直線 で囲まれた2つの図形のうち，点 が境界線上にある図形の面積を求めよ． 2022.03.05記 [解答](1) は である． と の…

2022.03.05記 [3] 以下の問いに答えよ．(1) 実数 に対し， が成り立つことを示せ．(2) を を満たす定数とし，座標平面上に点 をとる．さらに，点 を通り，傾きが の直線を とし，直線 と放物線 で囲まれた部分の面積を とする． が実数全体を動くとき， の最…

2022.03.05記 [2] を 以上の自然数とし， 個のさいころを 回投げて出る目の数を順に とする． の最小公倍数を , 最大公約数を とするとき，以下の聞いに答えよ．(1) となる確率および となる確率を求めよ．(2) が素数でない確率を求めよ．(3) が素数でない確…

2022.03.06記 [1] 三角形 において， 辺 を に内分する点を ，辺 を に内分する点を とする．また，線分 と線分 の交点を とする．(1) を と を用いて表せ．(2) 辺 ，， の長さをそれぞれ とするとき，線分 の長さを を用いて表せ．2022.03.06記 チェバの定…

2022年(令和4年)京都大学-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2022.03.05記 [4] を正の実数とする．直線 と曲線 との2つの交点 のうち， 座標が正のものを ，負のものを とする．また， と 軸との交点を とし， と 軸との交点を とする． が条件 を満たしながら動くとき，線分 の中点の軌跡を求めよ． 2022.03.05記 [解…

2022.03.05記 [3] 平面上の2直線 は直交し，交点の 座標は である また， はともに曲線 に接している． このとき， および で囲まれる図形の面積を求めよ． 2022.03.05記 公式を使えばすぐだけど丁寧に書いておく． [解答] と の接点の 座標を （） とすると…

2022.03.05記 [2] 下図の三角柱 において， を視点として，辺に沿って頂点を 回移動する．すなわち，この移動経路 （ただし ） において， ， ，…， はすべて辺であるとする．また，同じ頂点を何度通ってもよいものとする．このような移動経路で，終点 にい…

2022年(令和4年)京都大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ．

2022.03.05記 [5] は を満たす実数とし， とする．このとき，次の問いに答えよ．(1) 次の等式(＊)を満たす がただ1つ存在することを示せ．(＊) (2) を満たす実数 について，不等式が成り立つことを示せ．(3) 次の試行を考える．[試行] 個の数 を出目とする，…

2022.03.05記 [4] は正の実数とする．複素数 が かつ を満たしながら動くとき，複素数平面上の点 が描く図形を とする．このとき，次の問いに答えよ．(1) が円となるための の条件を求めよ．また，そのとき の中心が表す複素数と の半径を，それぞれ を用い…

2022.03.04記 [3] は を満たす実数とする． および を満たす直角三角形 が，次の2つの条件 (a)，(b) を満たしながら，時刻 から時刻 まで 平面上を動くとする．(a）時刻 での点 の座標は，それぞれ ,である．(b) 点 は第一象限内にある．このとき，次の間い…

2022.03.03記 [2] 3つの正の整数 の最大公約数が であるとき，次の間いに答えよ．(1) ，， の最大公約数は であることを示せ．(2），， の最大公約数となるような正の整数をすべて求めよ． 2022.03.03記 [解答](1) ，， が素数 を公約数にもつと仮定すると，…

2022.03.03記 [1] を実数とし， とする． が ， を満たしながら動くとき， を満たす複素数 がとりうる値の範囲を複素数平面上に図示せよ．2022.03.03記 シンプルに行こう。 [解答] なる実数 に対して なる の存在範囲を求めれば良い．ここで は実数により で…

2022.03.01記 [5] (A) 設問 a)〜c) の各文を，かっこ内の指示に従い，ほぼ同じ内容の文に書き換えよ。a) Hier dürft ihr keine Wersachen zurücklassen. （ihr に対する命令文に）b) Ich lerne viele Vokabeln, denn ich möchte nicht dauernd das Lexikon b…

2022.03.01記 [4] 次の文章を日本語に訳せ。Man muss, wenn man von Nation spricht. zumindest zwischen zwei Verwendungsweisen dieses Begriffes unterscheiden. Die eine betrifft das, was man eine Staatsbürgernation, also eine politische Nation n…

2022.03.01記 [5] 座標平面において， を媒介変数として ，（） で表される曲線を とする．曲線 と 軸で囲まれた部分の面積を求めよ． 2022.03.01記 そのままだと極表示の面積公式やガウスグリーンの定理を使わせにくくするために平行移動したものの、もとに…

2022.03.01記 [4] とする．以下の問いに答えよ．(1) 方程式 は， の範囲でただ つの解をもつことを示せ．(2) (1) の解を とする．実数 が を満たすならば，次の不等式が成り立つことを示せ． (3) 数列 を ， （） で定める．このとき，すべての自然数 に対し…

2022.03.01記 [3] 正の実数 に対し，座標平面上の2点 と を考える． が の範囲を動くとき，座標平面内で線分 が通過する部分を図示せよ．2022.03.01記 包絡線の問題．直線 と が の中点 で接することは受験数学ではやはり有名． [解答]直線 の方程式は切片方…

2022.03.01記 [2] とする．以下の問いに答えよ．(1) であることを示せ．(2) とするとき， が成り立つことを示せ．(3) は無理数であることを示せ．2022.03.01記 有名問題。この問題を見たことがない人は、角の3等分問題を調べておこう。 [解答](1) より であ…