[3]正の定数 に対して座標空間内の3点 ，， を定める．また，平面 上の点 に対して，線分 の中点を とする．ただし，点 の 座標は正である．このとき，以下の問いに答えよ．(1) 点 は線分 上の点とする．定数 に対し，点 を位置 に固定したとき， を最小とす…

[5]以下の規則にしたがって数直線上を移動する点 を考える．（規則）点 が座標 にあるとき，表が出る確率が のコインを投げて，表が出たら から へ移動し，裏が出たら から へ移動する．点 がはじめに座標 にあるとして，事象「上記の規則を適用する操作を …

[1]座標平面上の曲線 と をそれぞれ ， とする．ただし， を2以上の整数， を実数とする．以下の問いに答えよ．(1) のとき， が成り立つことを証明せよ．(2) 曲線 と が異なる2点で交わるための の条件を を使って表せ．(3) が(2)で求めた条件を満たすとする…

[2] 自然数 に対して定まる関数 について，以下の問いに答えよ．(1) 任意の実数 に対して が成り立つことを示せ．(2) 区間 において は相異なる2つの解を持つことを示せ．(3) 区間 における方程式 のすべての解の和を とおくとき，極限 を求めよ．2020.03.13…

[4] 直交座標で表された次の2つの方程式 ， を定義する．ただし ， は正の定数である．(1) 平面上に式(A)を満たす を図示せよ．(2) 極座標 を用いて，式(A)，(B)をそれぞれ極方程式で表せ．(3) 原点を除く に対して の最大値および最小値を求めよ．2020.03.1…

[3]2020.03.13記パクリました。 math.stackexchange.com

2020年(令和2年)京都大学数学(理系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020年(令和2年)京都大学数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

を奇数とし，整数に対して，とおく．が16で割り切れるような整数の組が存在するためのの条件を求めよ．2020.03.04記 [解答]が16で割り切れるためには、 は偶数である必要がある。一般に2乗しても偶奇は変わらないこと，及び が奇数であることから が偶数とな…

の2次関数で，そのグラフがのグラフと2点で直交するようなものをすべて求めよ．ただし，2つの関数のグラフがある点で直交するとは，その点が2つのグラフの共有点であり，かつ接線どうしが直交することをいう．2020.03.04記 [解答]とし、求める2次関数をとす…

を負の実数とする．平面上で曲線と直線のグラフが接するときのの値を求めよ．このとき，とで囲まれた部分の面積を求めよ．2020.03.04記 [解答]，とする． となるのは のときだが，これは に反する． となるのは のときで，これは をみたす．よって である．…

を座標とする空間において，平面内の曲線 を軸のまわりに1回転させるとき，この曲線が通過した部分よりなる図形をとする．このをさらに軸のまわりに1回転させるとき，が通過した部分よりなる立体をとする．このとき，の体積を求めよ．2020.03.02記 [解答]と…

縦4個，横4個のマス目のそれぞれに1，2，3，4の数字を入れていく．このマス目の横の並びを行といい，縦の並びを列という．どの行にも，どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ．下図はこのような入れ方の1例である． 1 2 3 4 3 4 1 …

正の整数に対して， ( ， は整数で は 3 で割り切れない ) の形に書いたとき，と定める．例えば，である．は整数で，次の条件を満たすとする．(i)． (ii)． (iii)は3で割り切れない．このようなについてとするとき， の最大値を求めよ．また，の最大値を与え…

を正の実数とする．座標空間において，原点 を中心とする半径1の球面上の4点 が次の関係式を満たしている． このとき， の値を求めよ．ただし，座標空間の点 に対して，は， と の内積を表す． 2020.03.02記 [解答] に注意すると、 が成立する．により， は …

を正の整数とする．はに関する方程式の2つの解で，であるとする．(1)すべての正の整数に対し，は整数であり，さらに偶数であることを証明せよ．(2) 極限を求めよ．2020.03.02記 [解答] (1) とおくと、であり、 だから すべての正の整数 に対して、 は偶数と…

は実数で，とする．に関する方程式 は3つの相異なる解を持ち，それらは複素数平面上で一辺の長さがの正三角形の頂点となっているとする． このとき，との3つの解を求めよ．2020.03.02記 [解答]一辺の長さが ということは，重心と頂点の距離は である．実数係…