2020.09.29記 [5] だ円 （）を考える． がすべての正の実数をとって動くとき，これらのだ円の上にある点全体はどのような範囲にあるか，その範囲を決定せよ．なお，それを図示せよ．2022.05.02記 両軸が 軸に平行で面積が1の楕円の包絡線は になるというお話…

2020.09.29記 [4] がすべての正の実数をとって動くとき，直線 が点 ，， を頂点とする三角形を，面積の等しい2つの図形に分けるようにするには， を のどのような関数にとればよいか．2022.05.02記 3角形を2等分する直線は、何度か東大入試に登場している． …

1967年(昭和42年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR に同じ

2020.09.29記 [2] 一平面上に3個の半径1の円があり，それぞれ点 ，点 ， を中心とする．このとき，次の条件 (i) と (ii) を満たす点 の存在する範囲を定め，その面積を求めよ。(i) 点 は円 ，円 ，円 のすべての外部にある．(ii) 点 から円 ，円 ，円 に引い…

1967年(昭和42年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR に同じ

2020.09.29記 [1] が正の定数， が正の整数ならば， において不等式 が成り立つことを証明せよ．[2] 一平面上に3個の半径1の円があり，それぞれ点 ，点 ， を中心とする．このとき，次の条件 (i) と (ii) を満たす点 の存在する範囲を定め，その面積を求めよ…

2022.05.03記 [6](旧課程) 点 を一端とする半直線 上に点 ， が与えられていて，， であるとする．いまこれから，点 （）を次の手順で定める．(1) ， のうち に近い方を ，遠い方を とする．線分 を直径とする半円と， における の垂線との交点をとってこれ…

2020.09.29記 [6](新課程) 箱の中に，1から9までの番号を1つずつかいた9 枚のカードがある．それらをよくまぜて，その中から1 枚ずつ続けて全部を取り出し，取り出した順に新しく1から9までの番号をつける．このとき，新しくつけられる番号が前もってつけら…

2022.05.03記 [5](旧課程) のグラフと のグラフとが接するように定数 の値を定めよ．なお，そのときの図をかけ．ただし， の区間についてだけでよい．2022.05.03記 河合塾の72年には本問は載っていない． [解答] と の接点の 座標を （） とすると から とな…

[5](新課程) のグラフが のグラフに接するように定数 の値を定めよ．なお，そのときこれらのグラフと 軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．2019.04.15記 と が接するのは有名。とおくと、 と が接することがわかる。 解が唯一であることはが変化したときの の…

2020.09.29記 [4] 方程式 の表わす曲線の略図をえがき，その第1象限にある部分が 軸， 軸と囲む図形の面積を求めよ．2022.05.02記 昔は、 は45度回転した楕円であることは常識だった． [解答] 点 を原点中心に 回転した点を とおくと となるので， を原点中…

2020.09.29記 [3] 南北の方向に水平でまっすぐな道路上を，自動車が南から北へ時速100 kmで走っている．また飛行機が一定の高度で一直線上を時速 kmで飛んでいる．自動車から飛行機を見たところ，ある時刻にちょうど西の方向に仰角30度に見えて，それから36…

2020.09.29記 [2] 辺の長さ2の正方形 が，その中心を円 の周上におきながら，かつその辺を座標軸に平行に保ちながら動く．一方，同じ大きさの正方形 が固定されていて，辺が座標軸に平行であり，その中心が点にある．このとき，2つの正方形 の共通部分の面積…

2020.09.29記 [1] が正の定数， が正の整数ならば， において不等式 が成り立つことを証明せよ．2020.09.29記 [うまい解答] AM-GM で であり， より題意は成立する．

2020.09.29記 [1] が正の定数， が正の整数ならば， において不等式 が成り立つことを証明せよ． [2] 辺の長さ2の正方形 が，その中心を円 の周上におきながら，かつその辺を座標軸に平行に保ちながら動く．一方，同じ大きさの正方形 が固定されていて，辺が…