軌跡の内容は、2020年から遡るが、補遺は1972年から2007年へと進むのか。10年の軌跡がベースとなっているので、一番最初の軌跡よりも古い年度にはフォローノートがない。1971年〜1974年、フォローノートなし。 1975年〜2000年、フォローノートも2段組。 2001…

東京出版の東大50年東大・入試数学50年の軌跡【1971年~2020年】発売日: 2020/12/19メディア: 単行本創刊号が1958年だから、これがある程度ペイしたら、1958年からの東大62年(1969年は入試がないので)を出版して欲しい。鉄緑会の東大40年鉄緑会 東大数学問題…

2022.10.22記 [4] AとBの二人が，Aを先手として以下のルールで交互に石を取り合うゲームを行う． ルール ・はじめに個の石がある．・まず先手は個以下の好きな数の石を取る．・以降は，直前に相手が取った石の数の2倍以下の好きな数の石を取ることを繰り返す…

2022.10.14記 [3] (1) 自然数 と実数 に対して，次を示せ． (2) 自然数 と実数 に対して，次を示せ． 2022.10.14記#数楽 Fejér-Jackson(-Gronwall)の不等式が出題されたのは、2020年度(一昨年の令和2年度)の東北大学理学部数学科のAO入試です。添付画像の(2)…

2022.10.14記 [1] 正の実数 の3乗根である実数を で表す．以下の手順にしたがって， を証明せよ．(1) 次の分数の分母を有理化せよ， (2) 次の等式を示せ． (3) 次の等式を示せ． 本問のテーマ ラマヌジャンの問題682 (2023.09.01) 2022.10.14記 有名問題で，…

[3]正の定数 に対して座標空間内の3点 ，， を定める．また，平面 上の点 に対して，線分 の中点を とする．ただし，点 の 座標は正である．このとき，以下の問いに答えよ．(1) 点 は線分 上の点とする．定数 に対し，点 を位置 に固定したとき， を最小とす…

[5]以下の規則にしたがって数直線上を移動する点 を考える．（規則）点 が座標 にあるとき，表が出る確率が のコインを投げて，表が出たら から へ移動し，裏が出たら から へ移動する．点 がはじめに座標 にあるとして，事象「上記の規則を適用する操作を …

[1]座標平面上の曲線 と をそれぞれ ， とする．ただし， を2以上の整数， を実数とする．以下の問いに答えよ．(1) のとき， が成り立つことを証明せよ．(2) 曲線 と が異なる2点で交わるための の条件を を使って表せ．(3) が(2)で求めた条件を満たすとする…

[2] 自然数 に対して定まる関数 について，以下の問いに答えよ．(1) 任意の実数 に対して が成り立つことを示せ．(2) 区間 において は相異なる2つの解を持つことを示せ．(3) 区間 における方程式 のすべての解の和を とおくとき，極限 を求めよ．2020.03.13…

[4] 直交座標で表された次の2つの方程式 ， を定義する．ただし ， は正の定数である．(1) 平面上に式(A)を満たす を図示せよ．(2) 極座標 を用いて，式(A)，(B)をそれぞれ極方程式で表せ．(3) 原点を除く に対して の最大値および最小値を求めよ．2020.03.1…

[3]2020.03.13記パクリました。 math.stackexchange.com

2020年(令和2年)京都大学数学(理系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020年(令和2年)京都大学数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

を奇数とし，整数に対して，とおく．が16で割り切れるような整数の組が存在するためのの条件を求めよ．2020.03.04記 [解答]が16で割り切れるためには、 は偶数である必要がある。一般に2乗しても偶奇は変わらないこと，及び が奇数であることから が偶数とな…

の2次関数で，そのグラフがのグラフと2点で直交するようなものをすべて求めよ．ただし，2つの関数のグラフがある点で直交するとは，その点が2つのグラフの共有点であり，かつ接線どうしが直交することをいう．2020.03.04記 [解答]とし、求める2次関数をとす…

を負の実数とする．平面上で曲線と直線のグラフが接するときのの値を求めよ．このとき，とで囲まれた部分の面積を求めよ．2020.03.04記 [解答]，とする． となるのは のときだが，これは に反する． となるのは のときで，これは をみたす．よって である．…

を座標とする空間において，平面内の曲線 を軸のまわりに1回転させるとき，この曲線が通過した部分よりなる図形をとする．このをさらに軸のまわりに1回転させるとき，が通過した部分よりなる立体をとする．このとき，の体積を求めよ．2020.03.02記 [解答]と…

縦4個，横4個のマス目のそれぞれに1，2，3，4の数字を入れていく．このマス目の横の並びを行といい，縦の並びを列という．どの行にも，どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ．下図はこのような入れ方の1例である． 1 2 3 4 3 4 1 …

正の整数に対して， ( ， は整数で は 3 で割り切れない ) の形に書いたとき，と定める．例えば，である．は整数で，次の条件を満たすとする．(i)． (ii)． (iii)は3で割り切れない．このようなについてとするとき， の最大値を求めよ．また，の最大値を与え…

を正の実数とする．座標空間において，原点 を中心とする半径1の球面上の4点 が次の関係式を満たしている． このとき， の値を求めよ．ただし，座標空間の点 に対して，は， と の内積を表す． 2020.03.02記 [解答] に注意すると、 が成立する．により， は …

を正の整数とする．はに関する方程式の2つの解で，であるとする．(1)すべての正の整数に対し，は整数であり，さらに偶数であることを証明せよ．(2) 極限を求めよ．2020.03.02記 [解答] (1) とおくと、であり、 だから すべての正の整数 に対して、 は偶数と…

は実数で，とする．に関する方程式 は3つの相異なる解を持ち，それらは複素数平面上で一辺の長さがの正三角形の頂点となっているとする． このとき，との3つの解を求めよ．2020.03.02記 [解答]一辺の長さが ということは，重心と頂点の距離は である．実数係…

IV 次の文章の下線部を日本語に訳しなさい。Ein Sternbild ist eine Gruppe von fünf bis zwanzig zu einer Einheit zusammengefassten Sterne. Dieser Gruppe wird meistens eine mythische Figur oder ein Tier zugeordnet. Besonders in der Seefahrt hat…

2020年の早稲田理工は、出題の検討がうまくいってないようだ。

2020年(令和2年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR に同じ

2020.10.14記 [3] を原点とする座標平面において，放物線 のうち を満たす部分を とする．(1) 点 が 上を動くとき， を端点とする半直線 が通過する領域を図示せよ．(2) 実数 に対して，直線 を考える．次の条件を満たす の範囲を求めよ． 上の点 と 上の点 …

2020.10.14記 [2] 座標平面上に8本の直線 ， がある．以下，16個の点 から異なる5個の点を選ぶことを考える．(1)次の条件を満たす5個の点の選び方は何通りあるか．上の8本の直線のうち，選んだ点を1個も含まないものがちょうど2本ある．(2)次の条件を満たす5…

2020.10.14記 [1] ，とする．座標平面上の曲線 が，以下の2条件を満たすとする．条件1：Cは 軸に接する．条件2： 軸とCで囲まれた領域（境界は含まない）に， 座標と 座標がともに整数である点がちょうど1個ある． を で表し， のとりうる値の範囲を求めよ．…

2020.10.14記 [1] ，とする．座標平面上の曲線 が，以下の2条件を満たすとする．条件1：Cは 軸に接する．条件2： 軸とCで囲まれた領域（境界は含まない）に， 座標と 座標がともに整数である点がちょうど1個ある． を で表し， のとりうる値の範囲を求めよ．…

2020.10.14記 [6] 以下の問いに答えよ．(1) ， を実数とする． の方程式 を考える． のとき，この方程式は の範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ．(2)座標平面上の楕円 を考える．また，を満たす実数 に対して，不等式 が表す領域を とする． 内のすべ…