2024.01.13記 [1] パスカル三角形の第 行の部分和 ，， として数列 ，， を定義する．ただし， のとき とする．(1) ，， を ，， の式として表せ．(2) 一般項 ，， を求めよ．(3) ，， を求めよ．1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 …

2024.01.13記 [1] パスカル三角形の第 行の部分和 ，， として数列 ，， を定義する．ただし， のとき とする．(1) ，， を ，， の式として表せ．(2) 一般項 ，， を求めよ．(3) ，， を求めよ．1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 …

2024.01.13記 [4] 半径 cm の半球形の器が水平から角 だけ傾けて固定されている．ただし， とする．この器に毎秒 の割合で水を入れるとき，入れはじめてから 秒後に器から水が流れだした．このときの の値を求めよ．本問のテーマ 球台と球欠（球帽）の体積 2…

2024.01.13記 [3] 平面において，曲線 上の の部分に，点 を次の条件をみたすようにとる．ただし， とする． 点 におけるこの曲線の接線と 軸との交点を とするとき，原点 における接線が を二等分する． このとき， の面積 の最小値と，それを与える の値を…

2024.01.13記 [2] 自然数 に対し， 平面上のベクトル を考える．， を正の数とし，平面上の点 ，，…， を ，，，， ，，，， により定める．このとき以下の問いに答えよ．(1) であることを示せ．(2) ，，…， を順に結んで得られる8角形の面積 を ， を用いて…

1995年(平成7年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR に同じ．

2024.01.13記 [1] すべての正の実数 ， に対し が成り立つような実数 の最小値を求めよ．[2] 自然数 に対し， 平面上のベクトル を考える．， を正の数とし，平面上の点 ，，…， を ，，，， ，，，， により定める．このとき以下の問いに答えよ．(1) である…

2024.01.13記 [6] 原点を とする 平面上の双曲線 （，）上の点 における接線と2つの漸近線との交点を ， とする． このとき以下の問いに答えよ．(1) 三角形 の面積 は，点 のとり方にはよらず，， によって定まることを示せ．(2) ， として実数 を変化させる…

2024.01.13記 [5] サイコロを 回投げて， 平面上の点 ，，…， を次の規則(a)，(b)によって定める．(a) (b) のとき， 回目に出た目の数が ，，， のときには， をそれぞれ東，北，西，南に だけ動かした点を とする． また 回目に出た目の数が ， のときには …

2024.01.13記 [4] を正の整数とする． の正の約数 に対し とおく．このとき，次の各 に対して の最小値を求めよ．(1) ，ただし は正の整数(2) 本問のテーマ 正の整数の昇順に並べて両端から組み合わせると積はもとの整数になる 2020.09.25記 の約数の大きい…

2024.01.13記 [3] 二辺の長さが と の長方形と一辺の長さが の正方形の2種類のタイルがある．縦 ，横 の長方形の部屋をこれらのタイルで過不足なく敷きつめることを考える．そのような並べ方の総数を で表す．ただし は正の整数である．たとえば ，， である…

2024.01.13記 [2] に対し，とおく．このとき，任意の実数 ， について が成り立つことを示せ．本問のテーマ Jensen の不等式 2024.01.10記 のとき， である．2024.01.13記 一般に とおき，の原始関数を ， の原始関数を ，… とすると のように続けていくと，…

2021.10.06記 [1] すべての正の実数 ， に対し が成り立つような実数 の最小値を求めよ．2021.10.06記 Twitter でみた有名問題の別解が思いつきました。みなさんと共有できれば嬉しいです(^^) pic.twitter.com/pE8m2cixrG— 吉原 修一郎 (@yoshihara_math) 20…

2024.01.13記 [1] すべての正の実数 ， に対し が成り立つような実数 の最小値を求めよ．[2] に対し，とおく．このとき，任意の実数 ， について が成り立つことを示せ．[3] 二辺の長さが と の長方形と一辺の長さが の正方形の2種類のタイルがある．縦 ，横…