[3] 右の図はある位置におかれた立方体の平面図である． は正六角形で辺 ， は基線 に垂直である． (i) この立方体の立面図をえがけ．(ii) の図上の長さが ならば，稜と対角線の実長はそれぞれいくらか．2020..10.13記 [解答] 平面図は正6角形となっており、…

[2] 4つのクラスから3人ずつ選手がでている．これを4人ずつ3組に分けて1組ずつ競争させる．(i) 同じクラスのものが同じ組に入らないように分けるとき，番組は幾通りできるか．(ii) 勝手に組分けする場合，番組は幾通りできるか．(iii) (ii)の場合，特別の2名…

[1]半径に等しい長さの円弧に対する中心角を1弧度という．従って1弧度は 度である． をなるべく少ない桁数で4捨5入して1弧度の近似値を計算しその誤差を30秒以下にしたい． の近似値を何とすればよいか．2020.09.24記 1度は60分、1分は60秒なので、30秒は 度…

[3] 空間において，3定点 ，， からの距離の2乗の和が一定であるような点の軌跡を求めよ．2020.09.24記 有名問題で，3点の重心を中心とする球面となるが，距離の2乗の和が一定以上小さくなると，1点や虚円（空集合）となる．3点が三角形をなさない場合もある…

[2] 平面上に点 と，それを通らない直線 とが与えられている．この平面上に点 をとり， から に下した垂線の足を とする． が一定の値をとるような点 の軌跡は何か．その図をえがけ．2024.09.22記 離心率による2次曲線の定義は が一定となるものだから，本問…

[1] 2円 ， が点 ， で交わるとき， を通る1つの直線が円 ， とそれぞれ ， でふたたび交わり， を通ってそれと平行な直線が円 ， とそれぞれ ， で交わるとする．(i) 四辺形 は平行四辺形となることを証明せよ．(ii) この平行四辺形の面積が最大となるのは…

[3] 右の図で曲線 は 軸に関して対称で，点 ， で 軸に接し，かつ の4次の整式のグラフとなっている．(i) 曲線 の方程式を求めよ．(ii) 曲線 と 軸で囲まれる部分を 軸のまわりに回転するときできる立体の体積を求めよ．（赤字部分は筆者が追加） 2020.09.24…

[2] 等脚台形の1つの底辺が ，等辺が であるとき，その面積を最大にするには，その高さをいくらにしたらよいか．2024.09.22記 [解答] ，，，（） とおくと，等脚台形 の面積 は となる． により， で極大かつ最大となる．このとき だから高さを にすれば良い…

[1] 次の函数の最大値と最小値を求めよ． 2020.09.24記 [解答] ，， であるから （） が成立する．よって 最大値が， 最小値が となる． [大人の解答] の最大固有値が最大値、最小固有値が最小値となる．固有方程式はだから， 最大値が， 最小値が となる．

[3] ， は正の數で を満足する正の数 があるとき， はどのような範囲にあるか，ただし は常用対数を表わすものとする．2020.09.24記 [解答] のとき、 は全実数をとる． が実数解をもつ条件は判別式 よって または ＜つまり または となる．

[2] 点 が原点を中心とする半径1の円の内部を動くとき，点 の動く範囲を図示せよ．2020.09.24記 このような写像をある点のまわりで線型近似したものがヤコビ行列となる．ヤコビ行列に逆行列があればその付近では一対一写像となるので逆写像が存在する．しか…

[1] 函数 のグラフをえがけ．2024.09.22記 [解答] かつ により，漸近線が である直角双曲線の1枝となる． （図示略）

4科目のうち2科目を選択せよ【解析Ｉ】[1] 函数 のグラフをえがけ．[2] 点 が原点を中心とする半径1の円の内部を動くとき，点 の動く範囲を図示せよ．[3] ， は正の數で を満足する正の数 があるとき， はどのような範囲にあるか，ただし は常用対数を表わす…