2024.01.10記 [1] 正の整数 と，，…， に対して を満たす整数 ，…， があたえられたときに とおく．ただし とする．(1) を証明せよ．(2) すべての正の整数は の形にただ一通りに表示できることを証明せよ．(3) が 以上の整数のとき を の形に表示せよ．[2] …

2024.01.10記 [4] とする．3次関数 に対し， ， とおく．以下，関数 ，，…を順次 （，，…） により定める．(1) 関数 を求めよ．(2) について， のとき， を満たす がただひとつ存在することを示せ．2024.01.13記 [解答] (1) を とおき， （） とおくと （） …

2020.07.27記[1] 平面上で，次の条件を満たす点 の範囲を とする． (1) を 平面上に図示せよ．(2) のとき， の 上での最大値 を求め，関数 のグラフを 平面上に図示せよ．2020.07.27記ルジャンドル変換。普通は下に凸な関数 から下に凸な関数 への変換で、 …

2024.01.10記 [3] に対し，行列 を考える． のとき，ベクトル の長さ について，次の不等式が成り立つことを示せ． ただし とする．本問のテーマ 対称行列の固有ベクトルは直交 2024.01.12記 の固有値は であり，固有ベクトルは互いに直交するので， で ， …

2024.01.10記 [2] 平面上の 点 ， に対し， と を 軸または 軸に平行な線分からなる折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値を で表す．(1) 原点 と点 に対し， を満たす点 の範囲を 平面上に図示せよ．(2) 点 と点 に対し， を満たす点 の範囲を 平面上に図示…

2024.01.10記 [1] 平面上で，次の条件を満たす点 の範囲を とする． (1) を 平面上に図示せよ．(2) のとき， の 上での最大値 を求め，関数 のグラフを 平面上に図示せよ．[2] 平面上の 点 ， に対し， と を 軸または 軸に平行な線分からなる折れ線で結ぶと…

2024.01.10記 [6] 平面上の 点 ， に対し， と を 軸または 軸に平行な線分からなる折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値をで表す．(1) 原点 と点 に対し， を満たす点 の範囲を 平面上に図示せよ．(2) 実数 に対し，点 を考える．次の条件（）を満足する点…

2024.01.10記 [5] 大量のカードがあり，各々のカードに，，，，， の数字のいずれかの一つが書かれている．これらのカードから無作為に 枚をひくとき，どの数字のカードをひく確率も正である．さらに， の数字のカードをひく確率は であり，，，， の数字の…

2024.01.10記 [4] とする． において連続な関数 に対して ， とおく．以下，関数 ，，… を順次 （，，…）により定める．また，とし，，，，…に対し とおく．このとき， を満たす任意の に対し が成り立ち，さらに となるような関数 を求めよ．2024.01.12記 […

2024.01.10記 [3] 空間において条件 ，， をみたす点 の全体からなる立体を考える．この立体の体積を とし， に対し， 軸と直交する平面 による切り口の面積を とする．(1) とおくとき を で表せ．ただしとする．(2) の値を求めよ．本問のテーマ ベータ関数…

2024.01.10記 [2] ， とおく．このとき，以下のことが成り立つことを示せ．(1) および は有理数である．(2) 任意の自然数 に対し は整数である．2024.01.12記 ， は一度は導いたことがあるだろう．これから ， となるので ， となり， および は有理数である…

2024.01.10記 [1] ， とする．このとき，以下のことが成り立つことを示せ．(1) 任意の実数 に対し， である．(2) 方程式 はただひとつの実数解 をもち， となる．本問のテーマ マクローリン展開 2024.01.11記 (2) は任意の実数 に対し， であることを示せば…

2024.01.10記 [1] ， とする．このとき，以下のことが成り立つことを示せ．(1) 任意の実数 に対し， である．(2) 方程式 はただひとつの実数解 をもち， となる．[2] ， とおく．このとき，以下のことが成り立つことを示せ．(1) および は有理数である．(2) …