2024.03.25記 [1] 自然数 ， に対して とする．以下の問いに応えよ．(1) を ，，， を用いて表せ．(2) すべての自然数 に対して， が成り立つことを示せ．2024.03.25記(2024/03/25/231430) [解答] (1) が成立する．(2) で より，任意の自然数 ， に対して で…

2024.03.25記 [4] を 以上の整数とする．座標平面上の点のうち， 座標と 座標がともに 以上 以下の整数であるものを考える．これら 個の点のうち 点以上を通る直線の個数を とする．以下の問いに答えよ．(1) を求めよ．(2) を求めよ．(3) を求めよ．本問のテ…

2024.03.25記 [3] 以下の問いに答えよ．(1) 自然数， が をみたすとき， が成り立つことを示せ．(2) をみたす自然数の組 をすべて求めよ．(3) をみたす自然数の組 をすべて求めよ．2024.03.25記(2024/03/25/103641) [解答] (1) であるから， である．(2) 自…

2024.03.25記 [2] 整式 について，以下の問いに答えよ．(1) をみたすすべての複素数 に対して， が成り立つことを示せ．(2) 次の条件をみたす複素数 をすべて求めよ．条件： をみたすすべての複素数 に対して が成り立つ．2024.03.25記(2024/03/25/100133) […

2024.03.25記 [1] を実数とし，座標空間内の 点 ，， を考える．以下の問いに答えよ．(1) ， のとき， 点 ，， は一直線上にないことを示せ．(2) が の範囲を動くとき，三角形 の面積の最大値を求めよ．2024.03.25記(2024/03/25/230421) [解答] ， であるか…

2024.03.24記 [3] は に関する 次多項式で 次の係数は である． は で割ると 余り， で割ると 余る． を求めよ．本問のテーマ 3次関数の箱（4等分×2等分） エルミート補間 部分分数分解 ヘビサイドの cover up 法 2024.03.24記 ，，，…，，，，…， の値から…

2024.03.24記不完全ベータ関数（ベータ関数の積分区間を から に拡張したもの）， Clopper-Pearsonの信頼区間 #統計 名古屋大学2024前期理系大問4の(2)の問題の出し方はちょっと意地悪になっていて、kの関数ではなく、pの関数として扱った方が多分証明は楽で…

2024.02.29記 [3] 座標平面上の円 と円 に関して，以下の設問に答えよ．(1) 座標平面上の3点 ，， を頂点とする三角形の外接円は であり，内接円は であることを示せ．(2) が外接円であり，さらに が内接円である任意の三角形 に対して，実数 ，， を ， ， …

2024.02.29記 [2] を満たす実数 の個数を求めよ．本問のテーマ デカルトの符号法則 [大人の解答] の符号変化は1回なので，デカルトの符号法則から の正の実数解の個数は 個． の符号変化は3回なので，デカルトの符号法則から の負の実数解の個数は 個か 個の…

2024.04.13記 [6] 自然数 に対して， とする． を自然数とし， の整数部分が 桁であるような の個数を とする．また， の整数部分が 桁であり，その最高位の数字が であるような の個数を とする． 次を求めよ． ただし，例えば実数 の整数部分 は 桁で，最…

2024.04.13記(2024/04/13/142156) [5] は を満たす定数とする．座標平面上で，次の つの不等式が表す領域を とする． ，，， 次の問いに答えよ．(1) の面積 を求めよ．(2) を求めよ．本問のテーマ 双曲線関数 2024.04.13記 双曲線関数を使うと記述が少し綺麗…

2024.04.13記 [4] 与えられた自然数 に対して，自然数からなる数列 を次のように定める． 次の問いに答えよ．(1) がすべて奇数であるような最小の自然数 を求めよ．(2) がすべて奇数であるような最小の自然数 を求めよ．本問のテーマ コラッツの問題(コラッ…

2024.04.13記(2024/04/13/143507) [3] 座標空間の4点 ， ，， は同一平面上にないとする．線分 の中点を ，線分 の中点を とする． 実数 に対して，直線 上の点 と，直線 上の点 を次のように定める．，このとき，直線 と直線 がねじれの位置にあるための に…

2024.04.13記 [2] を満たす複素数 と， を満たす複素数 に対して， とする．このような複素数 が複素数平面において動く領域を図示し，その面積を求めよ．2024.04.13記15:03 [解答] ， （）， とおくと， であるから，中心 ，半径 の円周上に 単位円板 の中…

2024.04.13記 [1] 個の異なる色を用意する．立方体の各面にいずれかの色を塗る．各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする．辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を とする．次の問いに答えよ．(1) を求めよ．(2) を求めよ．2024.04.13…