2021.01.13記 と の交点を ， から へ測った角度を ， とするとき，四角形は を 中心に 回転し， 倍拡大したものとなる．回転拡大は複素数を用いると簡明である． 複素平面で に対応する複素数をそれぞれ とおく．また に対応する複素数は である．(1) ，， …

2021.01.13記(1) と の交点を求めて 同様に だから，2点間の距離の公式より （∵）(2) tan の加法定理により だから， となり，が有理数ならば も有理数．(3) より大きく より小さい 個の異なる有理数を用意し，それらを（）とする． によって定め， によって…

[1] (1) を正の整数とする． の範囲において とおくことにより定義される関数 が，連続関数となるように定数 の値を定めよ．(2) は ， 等を用いて表せることを示し，定積分 の値を求めよ．(3) 任意の正の整数 に対して，定積分 の値を求めよ．2019.04.15記第…

2024.02.11記 [1] (1) を正の整数とする． の範囲において とおくことにより定義される関数 が，連続関数となるように定数 の値を定めよ．(2) は ， 等を用いて表せることを示し，定積分 の値を求めよ．(3) 任意の正の整数 に対して，定積分 の値を求めよ．[…

2024.02.11記 [4] (1) 四面体 の各辺はそれぞれ確率 で電流を通すものとする． このとき，頂点 から に電流が流れる確率を求めよ．ただし，各辺が電流を通すか通さないかは独立で，辺以外は電流を通さないものとする．(2) (1)で考えたような2つの四面体 と …

2024.02.11記 [3] を を満たす実数とする． 平面上の放物線 を とし， 直線 に関して と対称な放物線を とする．点 が放物線 上を動き，点 が放物線 上を動くとき，線分 の長さの最小値を を用いて表せ． 2021.01.13記 [解答] と 上の点との最短距離の2倍が …

2024.02.11記 [2] 次の2つの条件(a)，(b)を同時に満たす複素数 全体の集合を複素数平面上に図示せよ．(a) ， の実部はいずれも整数である．(b) である． 2021.01.13記 の実部は ， の実部は となり，偏角は同じとなる． をどのように置くかの巧拙が後の計算…

1999年(平成11年)東京大学前期-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2024.02.11記 [1] (1) 一般角 に対して ， の定義を述べよ．(2) (1)で述べた定義にもとづき，一般角 ，に対して ， を証明せよ．[2] 次の2つの条件(a)，(b)を同時に満たす複素数 全体の集合を複素数平面上に図示せよ．(a) ， の実部はいずれも整数である．(b…

2020.07.23記 [6] であることを示せ．ただし， は円周率， は自然対数の底である．2020.07.23記 ちょっと格好つけて と評価すると，評価が粗すぎて失敗する．素直に積分する． [解答] となり，，なるを用いて となる．よって， を示せば良い．ここで，下に凸…

[5] (1) を自然数とする． を とおくとき， を満たすすべての整数 について，二項係数 は偶数であることを示せ．(2) 以下の条件を満たす自然数 をすべて求めよ．条件： を満たすすべての整数 について二項係数 は奇数である． 本問のテーマ Kummer の定理 20…

2024.02.11記 [4] 空間において 平面上に円板 があり 平面上に円板 があって以下の 条件を満たしているものとする．(a) ， は原点からの距離が 以下の領域に含まれる．(b) ， は一点 のみを共有し， はそれぞれの円周上にある．このような円板 と の半径の和…

2024.02.11記 [3] を を満たす実数とする．(1) 四面体 の各辺はそれぞれ確率 で電流を通すものとする．このとき，頂点 から に電流が流れる確率を求めよ．ただし，各辺が電流を通すか通さないかは独立で，辺以外は電流を通さないものとする．(2) (1)で考えた…

2024.02.11記 [2] 複素数 （，，…）を ， によって定める． ただし は虚数単位である．(1) すべての自然数について が成り立つことを示せ．(2) 実数 に対して， を満たす の個数を とおく．このとき， を求めよ．2020.01.12記 [解答] (1) 三角不等式より が…

2024.02.11記 [1] (1) 一般角 に対して ， の定義を述べよ．(2) (1)で述べた定義にもとづき，一般角 ，に対して ， を証明せよ．2021.01.12記 [解答] (1) 点 を原点中心に反時計回りに 回転させた点を と定義する．(2) 点 を原点中心に反時計回りに 回転させ…

2024.02.11記 [1] (1) 一般角 に対して ， の定義を述べよ．(2) (1)で述べた定義にもとづき，一般角 ，に対して ， を証明せよ．[2] 複素数 （，，…）を ， によって定める． ただし は虚数単位である．(1) すべての自然数について が成り立つことを示せ．(2…