2024.02.29記 [1] 以上の自然数 に対して， を割り切る素数の個数を とする．例えば のとき， を割り切る素数は と と なので， である．不等式 を満たす 以上の自然数 をすべて求めよ．2024.02.29記 [解答] 素数 を用いて と素因数分解できたとき， は と同…

2024.02.29記 [1] 以上の自然数 に対して， を割り切る素数の個数を とする．例えば のとき， を割り切る素数は と と なので， である．不等式 を満たす 以上の自然数 をすべて求めよ．[2] を満たす実数 の個数を求めよ．[3] 座標平面上の円 と円 に関して…

2024.02.28記 [4] を5以上の奇数とする．平面上の点 を中心とする円をとり， それに内接する正 角形を考える． 個の頂点から異なる4点を同時に選ぶ．ただし， どの4点も等確率で選ばれるものとする．選んだ4点を頂点とする四角形が を内部に含む確率 を求め…

2024.02.28記 [3] 座標平面上に2点 ， をとる． 軸上の2点 ， が，次の条件(i)，(ii)をともに満たすとする．(i) かつ (ii) 線分 の中点を とするとき，(1) を を用いて表せ．(2) となる の値を求めよ．(3) の面積を ， の面積を とする． となる の範囲を求…

2024.02.28記 [2] 以下の問いに答えよ．必要ならば， であることを用いてよい．(1) となる最小の自然数 を求めよ．(2) となる最小の自然数 を求めよ．2024.02.28記 が大きいとき， に比べて は小さいので は とほとんど同じ値になるはず（実際は等しくなる）…

2024.02.28記 [1] 座標平面上で，放物線 が2点 ， を通り，点 と点 のそれぞれにおいて と共通の接線を持っている． ただし， とする．(1) を を用いて表せ．(2) 放物線 と 軸で囲まれた図形の面積 を を用いて表せ．(3) を示せ．2024.02.28記 [解答] とおく…

2024.02.28記 [1] 座標平面上で，放物線 が2点 ， を通り，点 と点 のそれぞれにおいて と共通の接線を持っている． ただし， とする．(1) を を用いて表せ．(2)放物線 と 軸で囲まれた図形の面積 を を用いて表せ．(3) を示せ．[2] 以下の問いに答えよ．必…

2024.02.28記 [1] 座標空間内の点 をとる． 平面上の点 が次の条件(i)，(ii)，(iii) をすべて満たすとする．(i) は原点 と異なる．(ii) (ii) がとりうる範囲を 平面上に図示せよ．[2] 次の関数 を考える． （）(1) を満たす実数 で， となるものを求めよ．(2…

2024.02.28記 [6] 2以上の整数で，1とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という．以下の問いに答えよ．(1) とする． が素数となるような整数 をすべて求めよ． (2) を整数の定数とし， とする． が素数となるような整数 の個数は3個以下であることを…

2024.02.28記 [5] 座標空間内に3点 ，， をとり， を線分 の中点とする．三角形 の周および内部を 軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積を求めよ．本問のテーマ 軸の正射影と体積の関係 2024.02.25記 多くのチート解法は，図形を軸に射影する方針(これ…

2024.02.28記 [4] とおく． を満たす実数 に対し，座標平面上の点 を通り，この点において放物線 との共通の接線を持ち， 軸上に中心を持つ円を とする．(1) 円 の中心の座標を ，半径を とおく． と を の整式で表せ．(2) 実数 は を満たすとする．円 が点 …

2024.02.28記 [3] 座標平面上を次の規則(i)，(ii)に従って1秒ごとに動く点 を考える．(i) 最初に， は点 にいる．(ii) ある時刻で が点 にいるとき， その 1 秒後には は 確率で軸に関して と対称な点 確率で軸に関して と対称な点 確率で軸に関して と対称…

2024.02.28記 [2] 次の関数 を考える． （）(1) を満たす実数 で， となるものを求めよ．(2) (1)で求めた に対し， の値を求めよ．(3) 関数 の区間 における最大値と最小値を求めよ．必要ならば， であることを用いてよい．本問のテーマ はみ出し削り論法（…

2024.02.28記 [1] 座標空間内の点 をとる． 平面上の点 が次の条件(i)，(ii)，(iii) をすべて満たすとする．(i) は原点 と異なる．(ii) (ii) がとりうる範囲を 平面上に図示せよ．2024.02.25記 [解答] とおくと (i)より である．(ii)より ，つまり かつ とな…

[2] 図のように，同一直線上にない3点 ，， を平面にとり， を考える．ただし，，， とする．， とおく．線分 を に外分する点を とする．さらに，点 を を満たすようにとる．(1) を ， を用いて表すと， となり， を ， を用いて表すと， となる．ゆえに， …

2024.02.17記 [5] 平面上において，以下の媒介変数表示をもつ曲線を とする． ただし， とする．(1) の最大値，最小値を求めよ．(2) となる の範囲を求め， の概形を 平面上に描け．(3) を 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 を求めよ． 注) 「 と 軸で…

2024.02.17記 [4] 2つのチーム ， が 回試合を行う．ただし， とする．各試合での ， それぞれの勝つ確率は とし，引き分けはないものとする． が連敗しない確率を とする．ただし，連敗とは2回以上続けて負けることを言う．(1) を求めよ．(2) を と を用い…

2024.02.17記 [3] 点 ，，， を頂点とする四面体 を考える．辺，， の中点をそれぞれ ，， とし，辺 ，， の中点をそれぞれ ，， とする．(1) 辺 ，， が1点で交わることを示せ．(2) のとき，点 ，，，，， が同一球面上にあることを示せ．(3) (2)において，…

2024.02.17記 [2] を自然数とし，数1，2，4を重複を許して 個並べてできる 桁の自然数全体を考える．そのうちで3の倍数となるものの個数を ，3で割ると1余るものの個数を ，3で割ると2余るものの個数を とする．(1) を を用いて表せ．同様に， を を用いて，…

2024.02.17記 [1] 円 に接する直線で， 切片， 切片がともに正であるものを とする． と と 軸により囲まれた部分の面積を ， と と 軸により囲まれた部分の面積を とする． が最小となるとき， の値を求めよ．2024.02.17記 図形を 軸対称にしたものとあわせ…