2024.04.16記 [5] 整数の組 に対して 次式 を考える．方程式 の複素数の範囲のすべての解 に対して となる正の整数 が存在するような組 をすべて求めよ．2024.04.16記(18:47:17) 大数1988年1月号の宿題2番 整数を成分とする適当な2次の正方行列 をとれば， …

2024.04.21記(09:25:59) [4] を正の整数とし， を 枚の硬貨とする．各 に対し，硬貨 を投げて表が出る確率を ，裏が出る確率を とする．この 枚の硬貨を同時に投げ，表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功，というゲームを考える．(1) （）のとき，このゲー…

2024.03.21記 [3] 平面上に，点 ，， （ただし ) をとる．点 ， を通る直線を とし，点 を通り線分 に垂直な直線を とする．さらに，点 を通り 軸に平行な直線と直線 との交点を とし，点 を通り 軸に平行な直線と直線 との交点を とする． 以下， に対して…

2024.04.18記 [2] 実数全体を定義域にもつ微分可能な関数 ， が次の6つの条件を満たしているとする． ，，，，，．このとき， ， とおく．(1) を求めよ．(2) は定数関数であることを示せ．(3) を求めよ．(4) となる正の実数 に対して，媒介変数表示された平…

2024.04.20記 [1] 平面上の曲線 に，点 （）で接する円のうち， 軸の正の部分にも接するものを とおく， が正の実数を動くときの の中心の軌跡を ，とくに の中心を とする．(1) 点 の座標を求めよ．(2) 点 における曲線 の接線の傾きを求めよ．2024.04.20記…

2024.03.25記 [1] 自然数 ， に対して とする．以下の問いに応えよ．(1) を ，，， を用いて表せ．(2) すべての自然数 に対して， が成り立つことを示せ．2024.03.25記(2024/03/25/231430) [解答] (1) が成立する．(2) で より，任意の自然数 ， に対して で…

2024.03.25記 [4] を 以上の整数とする．座標平面上の点のうち， 座標と 座標がともに 以上 以下の整数であるものを考える．これら 個の点のうち 点以上を通る直線の個数を とする．以下の問いに答えよ．(1) を求めよ．(2) を求めよ．(3) を求めよ．本問のテ…

2024.03.25記 [3] 以下の問いに答えよ．(1) 自然数， が をみたすとき， が成り立つことを示せ．(2) をみたす自然数の組 をすべて求めよ．(3) をみたす自然数の組 をすべて求めよ．2024.03.25記(2024/03/25/103641) [解答] (1) であるから， である．(2) 自…

2024.03.25記 [2] 整式 について，以下の問いに答えよ．(1) をみたすすべての複素数 に対して， が成り立つことを示せ．(2) 次の条件をみたす複素数 をすべて求めよ．条件： をみたすすべての複素数 に対して が成り立つ．2024.03.25記(2024/03/25/100133) […

2024.03.25記 [1] を実数とし，座標空間内の 点 ，， を考える．以下の問いに答えよ．(1) ， のとき， 点 ，， は一直線上にないことを示せ．(2) が の範囲を動くとき，三角形 の面積の最大値を求めよ．2024.03.25記(2024/03/25/230421) [解答] ， であるか…

2024.03.24記 [3] は に関する 次多項式で 次の係数は である． は で割ると 余り， で割ると 余る． を求めよ．本問のテーマ 3次関数の箱（4等分×2等分） エルミート補間 部分分数分解 ヘビサイドの cover up 法 2024.03.24記 ，，，…，，，，…， の値から…

2024.03.24記不完全ベータ関数（ベータ関数の積分区間を から に拡張したもの）， Clopper-Pearsonの信頼区間 #統計 名古屋大学2024前期理系大問4の(2)の問題の出し方はちょっと意地悪になっていて、kの関数ではなく、pの関数として扱った方が多分証明は楽で…

2024.02.29記 [3] 座標平面上の円 と円 に関して，以下の設問に答えよ．(1) 座標平面上の3点 ，， を頂点とする三角形の外接円は であり，内接円は であることを示せ．(2) が外接円であり，さらに が内接円である任意の三角形 に対して，実数 ，， を ， ， …

2024.02.29記 [2] を満たす実数 の個数を求めよ．本問のテーマ デカルトの符号法則 [大人の解答] の符号変化は1回なので，デカルトの符号法則から の正の実数解の個数は 個． の符号変化は3回なので，デカルトの符号法則から の負の実数解の個数は 個か 個の…

2024.04.13記 [6] 自然数 に対して， とする． を自然数とし， の整数部分が 桁であるような の個数を とする．また， の整数部分が 桁であり，その最高位の数字が であるような の個数を とする． 次を求めよ． ただし，例えば実数 の整数部分 は 桁で，最…

2024.04.13記(2024/04/13/142156) [5] は を満たす定数とする．座標平面上で，次の つの不等式が表す領域を とする． ，，， 次の問いに答えよ．(1) の面積 を求めよ．(2) を求めよ．本問のテーマ 双曲線関数 2024.04.13記 双曲線関数を使うと記述が少し綺麗…

2024.04.13記 [4] 与えられた自然数 に対して，自然数からなる数列 を次のように定める． 次の問いに答えよ．(1) がすべて奇数であるような最小の自然数 を求めよ．(2) がすべて奇数であるような最小の自然数 を求めよ．本問のテーマ コラッツの問題(コラッ…

2024.04.13記(2024/04/13/143507) [3] 座標空間の4点 ， ，， は同一平面上にないとする．線分 の中点を ，線分 の中点を とする． 実数 に対して，直線 上の点 と，直線 上の点 を次のように定める．，このとき，直線 と直線 がねじれの位置にあるための に…

2024.04.13記 [2] を満たす複素数 と， を満たす複素数 に対して， とする．このような複素数 が複素数平面において動く領域を図示し，その面積を求めよ．2024.04.13記15:03 [解答] ， （）， とおくと， であるから，中心 ，半径 の円周上に 単位円板 の中…

2024.04.13記 [1] 個の異なる色を用意する．立方体の各面にいずれかの色を塗る．各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする．辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を とする．次の問いに答えよ．(1) を求めよ．(2) を求めよ．2024.04.13…

2024.02.29記 [1] 以上の自然数 に対して， を割り切る素数の個数を とする．例えば のとき， を割り切る素数は と と なので， である．不等式 を満たす 以上の自然数 をすべて求めよ．2024.02.29記 [解答] 素数 を用いて と素因数分解できたとき， は と同…

2024.02.29記 [1] 以上の自然数 に対して， を割り切る素数の個数を とする．例えば のとき， を割り切る素数は と と なので， である．不等式 を満たす 以上の自然数 をすべて求めよ．[2] を満たす実数 の個数を求めよ．[3] 座標平面上の円 と円 に関して…

2024.02.28記 [4] を5以上の奇数とする．平面上の点 を中心とする円をとり， それに内接する正 角形を考える． 個の頂点から異なる4点を同時に選ぶ．ただし， どの4点も等確率で選ばれるものとする．選んだ4点を頂点とする四角形が を内部に含む確率 を求め…

2024.02.28記 [3] 座標平面上に2点 ， をとる． 軸上の2点 ， が，次の条件(i)，(ii)をともに満たすとする．(i) かつ (ii) 線分 の中点を とするとき，(1) を を用いて表せ．(2) となる の値を求めよ．(3) の面積を ， の面積を とする． となる の範囲を求…

2024.02.28記 [2] 以下の問いに答えよ．必要ならば， であることを用いてよい．(1) となる最小の自然数 を求めよ．(2) となる最小の自然数 を求めよ．2024.02.28記 が大きいとき， に比べて は小さいので は とほとんど同じ値になるはず（実際は等しくなる）…

2024.02.28記 [1] 座標平面上で，放物線 が2点 ， を通り，点 と点 のそれぞれにおいて と共通の接線を持っている． ただし， とする．(1) を を用いて表せ．(2) 放物線 と 軸で囲まれた図形の面積 を を用いて表せ．(3) を示せ．2024.02.28記 [解答] とおく…

2024.02.28記 [1] 座標平面上で，放物線 が2点 ， を通り，点 と点 のそれぞれにおいて と共通の接線を持っている． ただし， とする．(1) を を用いて表せ．(2)放物線 と 軸で囲まれた図形の面積 を を用いて表せ．(3) を示せ．[2] 以下の問いに答えよ．必…

2024.02.28記 [1] 座標空間内の点 をとる． 平面上の点 が次の条件(i)，(ii)，(iii) をすべて満たすとする．(i) は原点 と異なる．(ii) (ii) がとりうる範囲を 平面上に図示せよ．[2] 次の関数 を考える． （）(1) を満たす実数 で， となるものを求めよ．(2…

2024.02.28記 [6] 2以上の整数で，1とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という．以下の問いに答えよ．(1) とする． が素数となるような整数 をすべて求めよ． (2) を整数の定数とし， とする． が素数となるような整数 の個数は3個以下であることを…

2024.02.28記 [5] 座標空間内に3点 ，， をとり， を線分 の中点とする．三角形 の周および内部を 軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積を求めよ．本問のテーマ 軸の正射影と体積の関係 2024.02.25記 多くのチート解法は，図形を軸に射影する方針(これ…