2022.04.23記 [2] 座標平面において， 座標と 座標がともに整数である点を格子点という． を自然数とし，連立不等式 ， の表す領域を とする．また， に含まれる格子点の個数を とする．このとき，次の各問に答えよ．(1) 領域 を座標平面上に図示し， を求め…

次の条件によって定められる数列 がある． 以下の問いに答えよ。(1) 以上の自然数 に対して， が成り立つことを示せ。(2) 以上の自然数 は，数列 の互いに異なる 個（）の項の和で表されることを，数学的帰納法によって示せ．(3) (2) における項の個数 は， …

2025.05.06記 [5] を2以上の自然数とする．さいころを 回振り，出た目の最大値 と最小値 の差 を とする．(1) である確率を求めよ．(2) である確率を求めよ．2025.05.10記 出た目の最大値が である確率というのは大昔の京大に出たと思うので，そのうち参照で…

2025.05.06記 [4] ， を自然数， ， を ， を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．(1) 次の条件(A) を満たす ， の組 のうち， であるものをすべて求めよ．(2) 条件(A)を満たす ， の組 で， であるものは存在しないことを示せ．2025.05.09記 2017…

2025.05.06記 [3] 座標空間において原点 と点 を通る直線を とし，点 と点 を通る直線を とする． 上の2点 ， と， 上の点 を が正三角形となるようにとる．このとき， の面積が最小となるような ，， の座標を求めよ．2025.05.09記 [解答] の中点を とする…

2025.05.06記 [2] 次の問に答えよ．ただし， であることは用いてよい．(1) 桁以下の自然数で， 以外の素因数を持たないものの個数を求めよ．(2) 桁の自然数で， と 以外の素因数を持たないものの個数を求めよ．本問のテーマ 商による誤差の伝播を利用した評…

2025.05.06記 [1] 曲線 を とする．直線 は の接線であり，点 を通るものとする．また， の傾きは負であるとする．このとき， と で囲まれた部分の面積 を求めよ．2025.05.08記 [解答] ， の方程式を とおき，接点を とすると解と係数の関係により と は で…

2025.05.06記 [1] 曲線 を とする．直線 は の接線であり，点 を通るものとする．また， の傾きは負であるとする．このとき， と で囲まれた部分の面積 を求めよ．[2] 次の問に答えよ．ただし， であることは用いてよい．(1) 桁以下の自然数で， 以外の素因…

2025.05.06記 [6] を自然数とする． 個の箱すべてに， ，，，， の 種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている．各々の箱から1枚ずつカードを取り出し，取り出した順に左から並べて 桁の数 を作る．このとき， が3で割り切れる確率を求めよ．本問のテー…

2025.05.06記 [5] とする． の範囲で曲線 ，直線 ，直線 によって囲まれた部分の面積を とする．このとき， の最小値を求めよ． （ここで「囲まれた部分」とは，上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする．）本問のテーマ はみだ…

2025.05.06記 [4] は鋭角三角形であり， であるとする．また の外接円の半径は であるとする．(1) の内心を とするとき， を求めよ．(2) の内接円の半径 の取りうる値の範囲を求めよ．2025.05.08記 [解答] (1) であるから で ある．(2) の外心を とするとき…

2025.05.06記 [3] ， を自然数， ， を ， を満たす実数とする．このとき を満たす ， の組 をすべて求めよ．2025.05.08記 を加法定理でばらばらにする際， か が登場するのでこれらが とならないように場合分けをする．ここでは が かどうかで場合分けする…

2025.05.06記 [2] 四面体 を考える．点 ，，，，， は，それぞれ辺 ，，，，， 上にあり，頂点ではないとする．このとき，次の問に答えよ．(1) と が平行ならば であることを示せ．(2) ，，，，， が正八面体の頂点となっているとき，これらの点は の各辺の…

2025.05.06記 [1] を でない複素数，， を を満たす実数とする．(1) 実数 は を満たす定数とする． が絶対値 の複素数全体を動くとき， 平面上の点 の軌跡を求めよ．(2) 実数 は を満たす定数とする． が偏角 の複素数全体を動くとき， 平面上の点 の軌跡を…

2025.05.06記 [1] を でない複素数，， を を満たす実数とする．(1) 実数 は を満たす定数とする． が絶対値 の複素数全体を動くとき， 平面上の点 の軌跡を求めよ．(2) 実数 は を満たす定数とする． が偏角 の複素数全体を動くとき， 平面上の点 の軌跡を…

問題：2017年(平成29年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2017年(平成29年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

問題：2017年(平成29年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2021.01.27記 [解答] (1) が1増える確率も1減る確率もともに だから，(2) が6回中、3回1増えて3回1減れば良い．よって

問題：2017年(平成29年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2021.01.27記 [解答] ， とし， を に内分する点を とする．このとき， だから，求める範囲は ， で張られる平行四辺形であり，その面積は

問題：2017年(平成29年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 本問のテーマ 放物線の相似 2021.01.26記 [解答] と は相似で，相似の中心は頂点を に内分する点 であり，これが接点である．よって ，つまり ，つまり となる．， であるから…

2020.09.30記 2017年(平成29年)東京大学-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2017年(平成29年)東京大学-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2017年(平成29年)東京大学-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2017年(平…

問題：2017年(平成29年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2021.01.26記 [解答] (1) を中心に を一回転させることにより，，(2) は 軸とのなす角度が60度である母線の長さが1の円錐面を 軸のまわりに一回転させたものである．円錐面の端…

問題：2017年(平成29年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2021.01.26記 [解答] (1) の接線 （）と の接線 が一致する条件は なる の組が存在することである．よって かつ となれば良く， により だから， より，，(2) のとき となる．…

問題：2017年(平成29年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2021.01.26記 [解答] により ，，（）をみたす．(1) (2) （）だから， （）．(3) は自然数であり，漸化式から任意の自然数 について は自然数．(4) とユークリッドの互除法によ…

問題：2017年(平成29年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 本問のテーマ 反転（と複素共役）2021.01.26記 [大人の解答] (1) を原点について反転させて複素共役をとったものだから， を直径とする円から原点を除いたもの．よって中心は …

問題：2017年(平成29年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 本問のテーマ ランダムウォーク（酔歩） 2021.01.26記 [解答] (1) が1増える確率も1減る確率もともに であり，6回中、3回1増えて3回1減れば良い．(2) が1増える確率も1減る確率…

問題：2017年(平成29年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 本問のテーマ チェビシェフ多項式 2021.01.26記 [解答] (1) ， により となり，よって (2) の における最小値が となる条件は （） かつ

2020.09.30記 2017年(平成29年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2017年(平成29年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2017年(平成29年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 2017年(平…