[3] 北緯の地点で長さ 4m の棒の先端を北極星に向けて地上に立てておく．太陽の方位が南より東，高度がであるとき，この棒の影の長さはなにほどか．本問のテーマ 3次元極座標 2020.03.17記 文献によっては「なにほどか」が「何程か」になっている．どうでも…

[2] 何人かがある距離を自動車で行くとき，大型ならば2台，小型ならば3台いる．大型の料金は1台につき最初の1km までが100円，その後320m ごとに20円を加える．小型の料金は1台につき最初の1km までが70円，その後480m ごとに20円を加える．どのような距離を…

[1] 正三角形の板を図のように四つの合同な正三角形に分け，それを赤・黄・青・白の4色を用いて塗り分ける．(i) 4色の全部を用いるとき幾通りの塗り方があるか．(ii) 4色のうち任意の3色を用いて隣り合う三角形は違う色になるようにするには幾通りの方法があ…

[3] 稜の長さが1である立方体に図のように内接する四面体 の体積を求めよ． 2020.03.17記 等面四面体と直方体の関係の特別な場合で，立方体に内接する正四面体の体積の話． ですね．2024.09.23記 [解答] 立方体から切り落とされる4つの四面体は底面積が立方…

[2] 半径 の定円の周上を，その内側にある半径 の円がすべらずにころがるとき，小円の周上の一点の軌跡を求めよ．本問のテーマ ハイポサイクロイド（内サイクロイド）2020.03.17記 ハイポサイクロイド（内サイクロイド）の転円の半径が定円の半径の半分のと…

[1] (i) を平面上の角， をその平面上の任意の点とする。直線 に関する の対称点を とし，直線 に関する の対称点を とすれば， は を の周りに 回転した点と一致することを証明せよ．(ii) の平面上の任意の点を とする。その平面上で を図のように のまわり…

[3] であるとき， の係数 をどのように定めれば である上に が最小となるか．本問のテーマ ルジャンドル多項式 2020.03.16記 ルジャンドル多項式 とおくと， となる．ここで はクロネッカーのデルタである． [大人の解答] 次のルジャンドル多項式を とおくと…

[2] 直角座標に関して座標 の点が原点のまわりを正の向きに 回転すればその点の座標はどのようになるか． 2020.03.16記 複素数でサクっとやっとく。 [解答] だから， となる． の sin, cos を覚えていれば により，求める座標の複素平面での値は となる．よ…

[1] （） であるとき を求めよ．2020.03.16記 漸化式の特性方程式は であるから，その解は となるので、とかける。初期条件より となり、2024.09.23記 [解答] ， であるから， となり， となる．よって となる．

[3] と の大小を比較せよ。ただし対数は常用対数とし， は正数とする．2020.10.28記 は上に凸だから，Jensen の不等式から言える．2024.09.23記 [解答] であるから， と との大小を比較すれば良い．正数 について から （等号は ）が成立するので， （等号は…

[2] 二次方程式 の根が二つとも1より大きい実根となるのは実数がどんな範囲にあるときか。2024.09.23記 とおくと，根が二つとも正の実根という条件（和と積が正で判別式が非負）となり考え易い． [解答] とおくと の2解が正となれば良いので ，，， つまり …

[1] 次の函数のグラフを描け。 2020.10.14記 [解答] は双曲線で漸近線は ， となり， における最小値は，AM-GM を利用すると で最小値 となる．この図形は について点対称なので、 における最大値は のときの である．よって図示すると次図．

4科目のうち2科目を選択せよ【解析Ｉ】[1] 次の函数のグラフを描け。 [2] 二次方程式 の根が二つとも1より大きい実根となるのは実数がどんな範囲にあるときか。[3] と の大小を比較せよ。ただし対数は常用対数とし， は正数とする。【解析ＩＩ】 [1] （） で…