2022.02.13記 [3] 甲乙両人が次のようなゲームをする．まず机の上に 個の碁石をおき，その中から甲乙交互に幾個かの碁石を取る．ただし，一回に取る碁石の個数は1 個または2 個または3 個とし，相手が取った個数と同数の碁石をその直後に取ることは許されな…

2022.02.13記 [2] 右の図は直円錐台の投影図であって，その高さは ，上底面と下底面の直径はそれぞれ および である．また側面上の二点 の平面図はぞれぞれ a，b であり，立面図はそれぞれ a′，b′ である．側面上を通って二点 を結ぶ曲線の長さの最小値を求…

2022.02.13記 [1] ある年に甲は年利率2.9% で80 万円を，乙は年利率5% で50 万円を，乙は年利率8% で30 万円を預金した．そのままにしておけば，甲，乙，丙三人の貯金高の順位は預け入れた時から経過した年数とともにどのように変わるか．ただし，利息の計算…

2022.02.13記 [3] 円 と定点 がある．この円周上の動点 における接線上に点 をとり， ならしめるとき，点 の軌跡はいかなる図形であるか．また，とくに の場合を図示せよ．2022.02.18記 [解答] のように書くことにする． であるから， が成立する．ここで に…

2022.02.13記 [2] 頂点がそれぞれ ，， で外接円の半径が であるような三角形の面積を求めよ．2022.02.18記 外接円の半径は [解答] 三角定規を並べることにより，3辺の長さを とおくことができる。この三角形の高さは だから面積は であり，外接円の半径は …

2022.02.13記 [1] の辺 の中点を とする． が直角であるとき， はどのような形であるか．2022.02.18記 [解答] 正弦定理から (i)， (ii) である．いま，により であり，これとから (ii) は となり，よって(i)から となるので，(a) ，つまり が直角の直角3角形…

2022.02.13記 [3] 右の図のように基盤の目の形に並んでいる 個の点から，同一直線上にない 個の点を選んで，それらを頂点とする三角形を作る．全部でいくつの三角形ができるか．[図は、格子状に4×5の20点] 2022.02.18記 [解答] 20個から3個選ぶ選び方 通りの…

2022.02.13記 [2] 水を満たした半径r の球状の容器の最下端に小さな穴をあける．水が流れ始めた時刻を として時刻 から時刻 までに，この穴を通って流出した水の量を ，時刻 における穴から水面までの高さを としたとき， の導関数 と との間に （は正の定数…

2022.02.13記[1] 時刻 における2 点 の座標が という関係式によって与えられているとき，この2 点間の距離が最小となる時刻を求めよ．2022.02.13記 最小となる時刻のみ聞かれていて，最小値は聞かれていない． [解答] だから （）とおくと となるので，(i) …

2022.02.11記 [3] 不等式 を満足する を座標とする点 の存在する範囲を図示せよ．2022.02.11記 [解答] 真数条件より であり，このとき， と が単調増加であることから，これは ，つまり と同値となる．よって， かつ を図示すれば良い図省略

2022.02.11記 [2] 原点を通る直線が，3 点 ，， を頂点とする三角形を，面積の等しい2 つの部分に分けるとき，その直線の勾配（傾き）を求めよ．2022.02.11記 メネラウスの定理。 [解答] 原点を通る直線と， の交点をそれぞれ とする．であり，とすると，メ…

2022.02.11記 [1] を1 辺の長さが1 の正方形とする．頂点 より発した光が辺 にあたって反射し，以下次々に正方形の辺にあたって反射するものとする．最初，辺 にあたる点を とし，以下次々に辺にあたる点を ，，……とする． とおき， から辺 ， に至る距離を…

2022.02.11記 [1] ある年に甲は年利率2.9% で80 万円を，乙は年利率5% で50 万円を，乙は年利率8% で30 万円を預金した．そのままにしておけば，甲，乙，丙三人の貯金高の順位は預け入れた時から経過した年数とともにどのように変わるか．ただし，利息の計算…

2022.02.11記 [1] の辺 の中点を とする． が直角であるとき， はどのような形であるか．[2] 頂点がそれぞれ ，， で外接円の半径が であるような三角形の面積を求めよ．[3] 円 と定点 がある．この円周上の動点 における接線上に点 をとり， ならしめるとき…

2022.02.11記 [1] 時刻 における2 点 の座標が という関係式によって与えられているとき，この2 点間の距離が最小となる時刻を求めよ．[2] 水を満たした半径r の球状の容器の最下端に小さな穴をあける．水が流れ始めた時刻を として時刻 から時刻 までに，こ…

2022.02.11記 [1] を1 辺の長さが1 の正方形とする．頂点 より発した光が辺 にあたって反射し，以下次々に正方形の辺にあたって反射するものとする．最初，辺 にあたる点を とし，以下次々に辺にあたる点を ，，……とする． とおき， から辺 ， に至る距離を…

2020.10.26記 4科目のうち2科目を選択せよ【解析Ｉ】[1] を1 辺の長さが1 の正方形とする．頂点 より発した光が辺 にあたって反射し，以下次々に正方形の辺にあたって反射するものとする．最初，辺 にあたる点を とし，以下次々に辺にあたる点を ，，……とす…