1986年(昭和61年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[4] 二次方程式 $ax^2-2bx+c=0$ の係数 $a$ ， $b$ ， $c$ が，それぞれ次の範囲を動くものとする．
$0.9 \leqq a \leqq 1.1, \quad 2.7 \leqq b \leqq 3.3, \quad 4.5 \leqq c \leqq 5.4$

(1) このとき $u=\dfrac{b}{a}$ ， $v=\dfrac{c}{a}$ を座標とする点 $\mbox{P}(u,v)$ の動く範囲を定め，図示せよ．

(2) 上の二次方程式の二つの解のうち，大きい方を $z$ とする． $a$ ， $b$ ， $c$ が上の範囲を動くときの， $z$ の最大値，最小値を求めよ．

2020.12.14記（2023.08.29修正）

[解答]
(1) $(u,v)$ の動く範囲は $(b,c)$ の動く範囲を $\dfrac{1}{a}$ 倍に拡大したものと考えれば良い．

$(b,c)$ の動く範囲は $(2.7,4.5)$ ， $(3.3,4.5)$ ， $(3.3,5.4)$ ， $(2.7,5.4)$ の4点を頂点とする長方形であるから，これを原点中心に $0.9$ 〜 $1.1$ 倍拡大したものが求める範囲であり，次図のようになる．

(2) 題意の2次方程式は $x^2-2ux+v=0$ であるから，2次方程式の判別式が正と $v\leqq u^2$ は同値で、 $6\lt \Bigl(\dfrac{27}{11}\Bigr)^2$ より，(1) の領域は全てその領域内に含まれる．つまり，領域内の任意の点に対し2次方程式は相異2実解をもつ．

よって $v=u^2$ の接線 $v=2ux-x^2$ は領域内の各点を2回通過し， $x$ を正の範囲で増加させたときに2回目に通過する場合について考えれば良い．

まず， $(3,45/11)$ と $(11/3,5)$ を通る直線が原点を通ることから， $(11/3,5)$ を通る $v=u^2$ の接線よりも $(3,45/11)$ の方が上にあることから， $x$ を正の範囲で増加させたときに，接線はまず $(11/3,5)$ で接触してから領域内を横切ることがわかる．同様に考えると，その後 $(27/11,54/11)$ に接触した後に領域から一旦離れることがわかる（これが小さい解の動き）．

そしてさらに $x$ を増加させると再び $(27/11,54/11)$ に接触してから領域内を横切って $(11/3,5)$ で接触してから再び離れる（これが大きい解の動き）ことによって領域を2回通過する．

このように直線の動きを正しく追えれば、大きな解は

$(27/11,54/11)$ を通るとき最小値 $\dfrac{27+3\sqrt{15}}{11}$ ，
$(11/3,5)$ を通るとき最大値 $\dfrac{11+2\sqrt{19}}{3}$ をとることがわかる．

なお，誘導を無視して次のように解くこともできる．

[うまい解答]
(2) 大きい解を $\dfrac{b+\sqrt{b^2-ac}}{a}$ とみれば， $b$ について単調増加， $c$ について単調減少であり，
$\dfrac{c}{b-\sqrt{b^2-ac}}$ 　とみれば $a$ について単調減少であるから，

大きい解は $b$ が最小で $a,c$ が最大のとき，つまり $(a,b,c)=(1.1,2.7,5.4)$ のときに最小となる．
また，大きい解は $b$ が最大で $a,c$ が最小のとき，つまり $(a,b,c)=(0.9,3.3,4.5)$ のときに最大となる．

となることがわかる．誘導に乗らないほうが簡単というのはこれ如何に。

2023.08.29記

[別解]
(2) $z=u+\sqrt{u^2-v}$ であり，これは $u$ について単調増加， $v$ について単調減少である．

大きい解が最小となるのは， $(u,v)$ が $(27/11,54/11)$ と $(3,6)$ を結ぶ線分上のどこかにある場合である．この線分は $v=2u$ （ $27/11\leqq u\leqq 3$ ）であるから，
$z=u+\sqrt{(u-1)^2-1}$
は $27/11\leqq u\leqq 3$ の範囲で $u$ ， $\sqrt{(u-1)^2-1}$ はともに単調増加であるから， $u=\dfrac{27}{11}$ のときに最小値 $\dfrac{27+3\sqrt{15}}{11}$ をとる．

大きい解が最大となるのは， $(u,v)$ が $(3,45/11)$ と $(11/3,5)$ を結ぶ線分上のどこかにある場合である．この線分は $v=\dfrac{15}{11}u$ （ $3\leqq u\leqq 11/3$ ）であるから，
$z=u+\sqrt{\left(u-\dfrac{15}{22}\right)^2-\left(\dfrac{15}{22}\right)^2}$
は $3\leqq u\leqq 11/3$ の範囲で $u$ ， $z=u+\sqrt{\left(u-\dfrac{15}{22}\right)^2-\left(\dfrac{15}{22}\right)^2}$ はともに単調増加であるから， $u=\dfrac{11}{3}$ のときに最大値 $\dfrac{11+2\sqrt{19}}{3}$ をとる．