昔の駒場の学生証番号は 駒場の学生証番号のチェックディジット - [別館]球面倶楽部零八式markIISR にあるように[入学年度西暦下1桁][科類番号(1桁)][通し番号4桁][チェックディジット]の7桁だったのだが，今はJ[科類番号(1桁)][入学年度西暦下2桁][通し番号…

[問題][1] を正の実数とする．座標平面上の曲線 を で定める．原点を中心とする半径 の円と の共有点の個数が 個であるような の範囲を求めよ．[2] を 以上の整数とする． 以上 以下の整数から，相異なる 個の整数を選ぶ．ただし は必ず選ぶこととする．選ん…

[問題][1] を実数とする．座標平面上の放物線 は放物線 と つの共有点をもち，一方の共有点の 座標は を満たし，他方の共有点の 座標は を満たす．(1)点 のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ．(2)放物線 の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ． [2] 複素…

[1]三角形 の辺 ， ， の長さをそれぞれ 5，7，6 とし，点 と点 はそれぞれ および を満たす点とする．さらに，点 から線分 に下ろした垂線と線分 の交点を ， 線分 と線分 の交点を とする．以下の問いに答えよ．(1) を求めよ．(2) を求めよ． (3) 三角形 …

[2] を 以上の自然数， を実数として，次の条件によって定められる 個の項からなる数列 を考える． (1) とするとき, 数列 の一般項 を求めよ．(2) 数列 の一般項 を求めよ．さらに を満たす を とするとき， を の式で表せ．(3) (2) で求めた について， の…

[3]実数 は とする．曲線 と直線 ，直線 および 軸で囲まれた部分を 軸の周りに一回転させて得られる立体の体積を とする．以下の問いに答えよ．(1) を求めよ．(2) を最小とする の値を求めよ．(3) 次の極限を求めよ． 必要ならば を証明なしで用いてよい．2…

[4] 正四面体 の頂点 上の動点 が，時刻 0には頂点 にいるとする．0以上の整数 に対して，時刻 の の位置が，時刻 の の位置から以下のルールに従って決まるとする．・時刻 に が頂点 にいる場合 時刻 に はそれぞれ確率 で頂点 にいる．・時刻 に が頂点 に…

[5] を次の条件を満たす3次の多項式とする．(a) の係数は1である． (b) ではない複素数 が存在して，すべての自然数 について となる．以下の問いに答えよ．(1) または であることを示せ．ただし， は虚数単位とする．(2) を求めよ．(3) を次の多項式とする…

[1]座標空間内の4点 ，，， を考える．以下の問いに答えよ． (1) 四面体 に内接する球の中心の座標を求めよ．(2) 中心の 座標， 座標， 座標がすべて正の実数であり， 平面， 平面， 平面のすべてと接する球を考える．この球が平面 と交わるとき，その交わり…

[2] を をみたす定数とし， の2次方程式 を考える．以下の問いに答えよ． (1) 2次方程式 が実数解をもたないような の値の範囲を求めよ．(2) が (1) で求めた範囲にあるとし， の2つの虚数解を とする．ただし， の虚部は の虚部より大きいとする．複素数平…

[3]座標平面上の点 について，次の条件を考える．条件：すべての実数 に対して が成立する．以下の問いに答えよ．必要ならば を使ってよい．(1) 条件 をみたす点 全体の集合を座標平面上に図示せよ。 (2) 条件 をみたす点 のうち， かつ をみたすもの全体の…

[4] 自然数 と実数 に対して，2つの整式 を考える． お異なる複素数とする．複素数平面上の2点 を結ぶ線分上にある点 で， をみたすものが存在するとき， は平均値の性質をもつ ということにする．以下の問いに答えよ．ただし， は虚数単位とする．(1) のと…

[5] 以下の問いに答えよ．(1) 自然数 が をみたすとき， であることを示せ．(2) を素数とする． をみたす自然数の組 で となるものをすべて求めよ．2021.03.17記 [解答](1) であるから， までの 個の積よりも， までの 個の積の方が大きい．よって ，すなわ…

[5] が素数ならば は素数でないことを示せ．2021.03.10記 2でない素数は奇数だから， が2の倍数でない整数のとき， は……奇数となってうまくいかないので，次は「 が3の倍数でない整数のとき， は3の倍数になる…(☆)」が示せるかどうかを考える． [解答] のと…

[4] 空間の8点 ，，，，，，， を頂点とする直方体 を考える．点 ，点 ，辺 上の点 ，および辺 上の点 の4点が同一平面上にあるとする．このとき，四角形 の面積 を最小にするような点 および点 の座標を求めよ．また，そのときの の値を求めよ．2021.03.10…

[3] を2以上の整数とする． から までの番号が付いた 個の箱があり，それぞれの箱には赤玉と白玉が1個ずつ入っている．このとき操作(*)を に対して， が小さい方から順に1回ずつ行う．(*) 番号 の箱から玉を1個取り出し，番号 の箱に入れてよくかきまぜる．…

[2]定積分 を求めよ．2021.03.09記 [解答]， とおく． であるから， となる．

[1] 次の各問に答えよ. 問1 10進法で表された数 を2進法で表せ．また，この数と2進法で表された数 との積として与えられる数を2進法および4進法で表せ．問2 において ，， とする． の垂心を とするとき， を と を用いて表せ．2021.03.09記問2 「内積は正射…

[6]次の各問に答えよ．問1 を2以上の整数とする． が素数ならば も素数であることを示せ．問2 を1より大きい定数とする．微分可能な関数 が を満たすとき，曲線 の接線で原点 を通るものが存在することを示せ． 2021.03.09記 [解答]問1 が合成数 であるとす…

[5] 平面において，2点 ． に対し．点 は次の条件(*)を満たすとする．(*) かつ点 の 座標は正．次の各問に答えよ．(1) の外心の座標を求めよ．(2) 点 が条件(*)を満たしながら動くとき， の垂心の軌跡を求めよ．2021.03.09記 オイラー線から，三角形 の重心…

[4] 曲線 の の部分の長さを求めよ．2021.03.09記 [解答] だから，求める長さ は （∵ で ）

[3]無限級数 の和を求めよ．2021.03.09記 [解答]， とおく． を虚数単位として とおくと となり，複素共役をとると同様に が成立するので， が成立する．ここで より で ， だから， となる．よって となる．

[2]曲線 上の点 における接線は 軸と交わるとし，その交点を とおく．線分 の長さを とするとき， が取りうる値の最小値を求めよ．2021.02.14記 [解答] とおくと， だから における接線の方程式は となる．これが 軸と交わる必要十分条件は であり，このとき…

[1] 次の各問に答えよ. 問1 空間の3点，， を通る平面 に関して点 と対称な点 の座標を求めよ．ただし，点 が平面 に関して と対称であるとは，線分 の中点 が平面 上にあり，直線 が から平面 に下ろした垂線となることである．問2 赤玉，白玉，青玉，黄玉…

2021年(令和3年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2021年(令和3年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

[2] を 以上の整数とする． 以上 以下の整数から，相異なる 個の整数を選ぶ．ただし は必ず選ぶこととする．選んだ数の集合を とし， に関する以下の条件を考える．条件1: は連続する 個の整数からなる集合を1つも含まない．条件2:は連続する 個の整数からな…

[1] を正の実数とする．座標平面上の曲線 を で定める．原点を中心とする半径 の円と の共有点の個数が 個であるような の範囲を求めよ．2021.03.02記 [解答] に を代入して とおくと となる．この3次以下の方程式が の範囲に3つの実数解をもてば良い． は …