2023.07.26記 [2] (1) のとき，次の不等式が成り立つことを示せ． (2) ， は次を満たす正の数とする． このとき，次の不等式を示せ． また，等号が成り立つのはどのような場合か．本問のテーマ カルバック-ライブラーダイバージェンス ギブスの不等式（情報…

[2] が相異なる素数の積，，であるとき，個の数 () の最大公約数は1であることを示せ。2019.04.15記二項係数が素数 p で割り切れない条件 - 球面倶楽部 零八式 mark II を用いる。である。また、進数の割り算においてに繰り上がりが起きないとしてを選ぶこと…

2024.01.15記 [1] 右の図のように， 辺の長さが の正 角形で，平面を分割する． これらの 辺の長さが1の正 角形1つ1つを，単位正 角形とよぶことにする．はじめに1個以上有限個の単位正 角形が塗りつぶされているとし，以下の操作を繰り返すことにより，次々…

2024.01.15記 [4] をみたす実数 に対して， 平面上の点 ， を ， と定める． が を動くとき，直線 の通りうる範囲を図示せよ．本問のテーマ 包絡線 2021.01.11記 [大人の解答] 直線 の方程式は である． であるから， のとき， として となるので， のとき，…

2024.01.15記 [3] を正の数とする． 空間に原点 と3点 ，， をとる． 空間の点 で ，] を満たすものが2つ存在するための の条件を求めよ．さらに，この 点の座標を を用いて表せ．2020.01.11記 普通に計算するのが楽． [解答] とおくと から ， から から と…

1997年(平成9年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2024.01.15記 [1] ， は実数で ， をみたしている．このとき，(1) の値を求めよ．(2) を2以上の整数とするとき， は で割り切れる整数であることを示せ．2020.01.11記 [解答] とし，， とおくと， が任意の自然数 について成立する．， ，であるから， つま…

2024.01.15記 [1] ， は実数で ， をみたしている．このとき，(1) の値を求めよ．(2) を2以上の整数とするとき， は で割り切れる整数であることを示せ．[2] ， を正の数とし， 平面の 点 および を頂点とする正 角形を とする．ただし， は第1象限の点とす…

2024.01.15記 [6] を実数とする．(1) 曲線 と放物線 の両方に接する直線が 軸以外に 本あるような の範囲を求めよ．(2) が(1)の範囲にあるとき，この 本の接線と放物線 で囲まれた部分の面積 を を用いて表せ．2020.01.11記 [解答] の における接線の方程式…

2024.01.15記 [5] を をみたす実数とする． 平面で，不等式 の表す領域を 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ． 2020.01.11記 軸回転は だから， を で表せば良い.四分円の面積 を使う． [解答] により， となり，の範囲は より （ とおく） …

2024.01.15記 [4] 正 角形 の頂点 から辺 とのなす角が の方向に， 角形の内部に向かって出発した光線を考える．ただし とする．この光線は 角形の各辺で入射角と反射角が等しくなるように反射し，頂点に達するとそこでとまるものとする．また， 角形の内部…

2024.01.15記 [3] は をみたす実数とする． 空間に原点 と 点 ， をとる．(1) 空間の点 で条件 をみたすものが存在するような の範囲を求めよ．(2) 点 が(1)の条件をみたして動くとき，内積 の最大値，最小値を の関数と考えてそれぞれ ， で表す．このとき…

2024.01.15記 [2] を正の整数， を実数とする．すべての整数 に対して が成り立つような の範囲を を用いて表せ．2021.01.11記 [解答] 正の整数が与えられたとき，すべての整数 について が成立するような の範囲を で表す． の における接線 がを通るので，…

2024.01.15記 [1] ， を正の数とし， 平面の 点 および を頂点とする正 角形を とする．ただし， は第1象限の点とする．(1) 角形 が正方形 に含まれるような の範囲を求めよ．(2) が(1)の範囲を動くとき， 角形 の面積 が最大となるような を求めよ．また，…

2024.01.15記 [1] ， を正の数とし， 平面の 点 および を頂点とする正 角形を とする．ただし， は第1象限の点とする．(1) 角形 が正方形 に含まれるような の範囲を求めよ．(2) が(1)の範囲を動くとき， 角形 の面積 が最大となるような を求めよ．また，…