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2018年(平成30年)九州大学前期-数学III[5]

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2026-08-16

2018年(平成30年)九州大学前期-数学III[5]

2026.08.16.23:55:19記

[5] $\alpha$ を複素数とする．等式
$\alpha(|z|^2+2)+i(2|\alpha|^2+1)\overline{z}=0$
を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ．ただし， $i$ は虚数単位である．

2026.08.16.23:55:19記
ちょっとしたことに気付くかどうかという問題です．そのちょっとしたことに気付くのが難しいので難問という評価（大数ではD評価）がありますが，数学毛布のやり方である「変数を分離せよ」を思い出せば，少なくとも与えられた等式を
$\dfrac{\alpha}{2|\alpha|^2+1}=-i\dfrac{\overline{z}}{|z|^2+2}$ …(★)
と $\alpha$ と $z$ が分離できるように変形してみたくなると思います．

すると（ $|z|=|\alpha|=0$ でない場合には），動径の長さが等しくなるという条件と偏角に関する条件である
$\dfrac{|\alpha|}{2|\alpha|^2+1}=\dfrac{|z|}{|z|^2+2}$ （両辺の絶対値から動径の長さに関する条件），
$\dfrac{\alpha}{|\alpha|}=-i\dfrac{\overline{z}}{|z|}$ （ $\Leftrightarrow\dfrac{z}{|z|}=-i\dfrac{\overline{\alpha}}{|\alpha|}$ ）（動径の条件を用いて偏角に関する条件），
に分けて考えることができます．

ここで動径の長さに関する条件は， $|z|$ に関する高々二次方程式となるので $|z|$ を $|\alpha|$ で表すことができ，その結果を偏角に関する条件に代入すれば
$z=-i\dfrac{\mbox{（$|z|$ を $|\alpha|$ で表した結果）}}{|\alpha|}\cdot \overline{\alpha}$
と $z$ を求めることができます．

なお， $2|\alpha|^2+1$ ， $|z|^2+2$ が正の実数となることから， $z=-ik\overline{\alpha}$ を満たす正の実数 $k$ が存在することがわかるので，[うまい解法]のように $k$ を求める方針（実はこちらを先に思いついたので[うまい解法]から書きます）も良いでしょう．やっていることは先ほど述べた $|z|$ を $|\alpha|$ で表すのではなく， $k=\dfrac{|z|}{|\alpha|}$ を $|\alpha|$ で表すという方針に相当しています．つまり
$z=-i\mbox{（$\dfrac{|z|}{|\alpha|}$ を $|\alpha|$ で表した結果）}\cdot \overline{\alpha}$
によって $z$ を求めています．

既に述べたように，本問の場合はうまく $z$ と $\alpha$ が分離できる単純な設定となっているので動径の長さに関する条件と偏角に関する条件をうまく分離することができます．ですから， $z$ と $\alpha$ の偏角を設定して偏角の関係式を導くのは遠回りです．実際偏角に関する条件
$\dfrac{\alpha}{|\alpha|}=-i\dfrac{\overline{z}}{|z|}$
から， $z$ の偏角 $\theta$ と $\alpha$ の偏角 $\varphi$ について $\varphi=-\theta-\dfrac{\pi}{2}$ （ $\mbox{mod}\,2\pi$ ）となることは直ちにわかります．

[うまい解答]
$z=-i\dfrac{|z|^2+2}{2|\alpha|^2+1}\overline{\alpha}$ と変形でき， $\dfrac{|z|^2+2}{2|\alpha|^2+1}\gt 0$ であるから， $z=-ik\overline{\alpha}$ （ $k\gt 0$ ）とおくことができる．

このとき $|z|=k|\alpha|=\dfrac{|z|^2+2}{2|\alpha|^2+1}|\alpha|$ であるから，
$|\alpha|=0$ …①または $k=\dfrac{k^2|\alpha|^2+2}{2|\alpha|^2-1}$ …②が成立する．

①のとき $z=\alpha=0$ となるが，これは等式を満たしているので適する．

②のとき整理して $(k-2)(|\alpha|^2k-1)=0$ となり， $k=2，\dfrac{1}{|\alpha|^2}$ となる．よって
$z=-2i\overline{\alpha}$ ， $-i\dfrac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2}$
となる．

よって求める答えは
$\begin{cases} z=0 & (\alpha=0) \\ z=-2i\overline{\alpha}，-i\dfrac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2} & (\alpha\neq 0) \end{cases}$
となる．

注）
$|\alpha|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のときには $2$ つの $z$ は一致する．

$-i\dfrac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2}$ は $-\dfrac{i}{\alpha}$ と変形することができますが，その必要があるかと言われると個人的にはどちらでも良いです（分母の有理化をすべきかどうかという話と同じです）．

[解答]
$\dfrac{\alpha}{2|\alpha|^2+1}=-i\dfrac{\overline{z}}{|z|^2+2}$ ，つまり
$\dfrac{z}{|z|^2+2}=-i\dfrac{\overline{\alpha}}{2|\alpha|^2+1}$ …(★)
と変形できる．

(i) $|\alpha|=0$ のとき：
(★)から $z=0$ となる．

(ii) $|\alpha|\neq 0$ のとき：
(★)から $z\neq 0$ であり，(★)は動径の長さと偏角に関する条件に分離することにより，

$\dfrac{|\alpha|}{2|\alpha|^2+1}=\dfrac{|z|}{|z|^2+2}$ …①
かつ
$\dfrac{z}{|z|}=-i\dfrac{\overline{\alpha}}{|\alpha|}$ $\Leftrightarrow z=-i\dfrac{|z|}{|\alpha|}\,\overline{\alpha}$ …②

と考えることができる．①を整理して
$|\alpha|\,|z|^2-(2|\alpha|^2+1)|z|+2|\alpha|=(|\alpha|\,|z|-1)(|z|-2|\alpha|)=0$
となるので， $|z|=2|\alpha|，\dfrac{1}{|\alpha|}$ となり，②から
$z=-2i\overline{\alpha}$ ， $-i\dfrac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2}$
を得る．

よって求める答えは
$\begin{cases} z=0 & (\alpha=0) \\ z=-2i\overline{\alpha}，-i\dfrac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2} & (\alpha\neq 0) \end{cases}$
となる．

2026-04-19

1971年(昭和46年)京都大学-数学(文系)

2026.04.19.23:41:13記

[1] (i) 次の $\fbox{$\phantom{　　　}$}$ の中に適当な数あるいは語句をいれ，その理由をしるせ．
$x\gt 0$ において，直線 $y=ax$ （ $a$ は正数）と曲線 $xy=1$ の交点を $\mbox{P}$ とする．原点を $\mbox{O}$ とするとき，線分 $\mbox{OP}$ の長さ $\overline{\mbox{OP}}$ が最小となるのは $a=\fbox{$\phantom{　　　}$}^{ア)}$ のときで，そのとき $\overline{\mbox{OP}}=\fbox{$\phantom{　　　}$}^{イ)}$ である．
$a\geqq1$ では， $a$ が増加するとともに $\overline{\mbox{OP}}$ は $\fbox{$\phantom{　　　}$}^{ウ)}$ し，
$a\lt 1$ では， $a$ が増加するとともに $\overline{\mbox{OP}}$ は $\fbox{$\phantom{　　　}$}^{エ)}$ する．

(ii) $0\lt xy\leqq1$ ， $\displaystyle1\leqq\dfrac{y}{x}\leqq\sqrt{3}$ ， $x\gt 0$ をみたす点 $(x，y)$ の範囲を考える．点 $\mbox{Q}$ はこの範囲にあるものとして， $\overline{\mbox{OQ}}$ の最大値，およびそのとき線分 $\mbox{OQ}$ が $x$ 軸となす角を求めよ．

[2] $\alpha$ ， $\beta$ は複素数で， $\alpha$ の絶対値は $1$ とする．
このとき $z+\alpha\bar{z}+\beta=0$ を満足する複素数 $z$ があるための必要十分条件は $\alpha\bar{\beta}=\beta$ であることを示せ．
ここに $\bar{z}$ ， $\bar{\beta}$ はそれぞれ $z$ ， $\beta$ の共役複素数を表わす．

[3] 台形 $\mbox{ABCD}$ の平行な2辺 $\mbox{AB}$ ， $\mbox{DC}$ 上にそれぞれ点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ をとる．次に $\mbox{AB}$ に平行な直線が辺 $\mbox{AD}$ ， $\mbox{BC}$ および線分 $\mbox{PQ}$ と交わる点をそれぞれ $\mbox{L}$ ， $\mbox{M}$ ， $\mbox{N}$ とし， $\mbox{AP}=a$ ， $\mbox{PB}=b$ ， $\mbox{DQ}=c$ ， $\mbox{QC}=d$ ， $\mbox{LN}=x$ ， $\mbox{NM}=y$ とする． $ad-bc\gt 0$ ， $c\neq0$ のとき，
$\dfrac{y}{x}$ ， $\dfrac{b}{a}$ ， $\dfrac{d}{c}$ の大小をしらべよ．

[4] $xy$ 平面上の曲線 $y=\sqrt{|x^2-1|}$ と直線 $y=2$ とが囲む図形を $x$ 軸のまわりに回転してえられる回転体の体積を求めよ．

[5] 空間に正方形がある．これを一つの平面上に正射影したとき，2辺の長さおよび一つの頂角がそれぞれ， $2\sqrt{2}$ ， $\sqrt{6}$ および $30^{\circ}$ であるような平行四辺形がえられた．

(i) 平行四辺形の二つの対角線の長さを求めよ．

(ii) もとの正方形の面積を求めよ．

[6] 3次関数 $f(x)=x^3-ax$ （ $a$ は実数）の絶対値 $|f(x)|$ の $0 \leqq x \leqq 1$ における最大値は， $a$ の値が何であっても，つねに $\dfrac{1}{4}$ より小さくないことを証明せよ．

2026-04-19

1971年(昭和46年)京都大学-数学(理系)

2026.04.19.21:10:50記

[1] 座標平面において， $x$ ， $y$ がともに整数であるような点 $(x，y)$ を格子点とよぶことにする．
この平面上で，

(i) 辺の長さが $1$ で，辺が座標軸に平行な正方形（周をこめる）は少なくとも一つの格子点を含むことを証明せよ．

(ii) 辺の長さが $\sqrt{2}$ の正方形（周をこめる）は，どんな位置にあっても，少なくとも一つの格子点を含むことを証明せよ．

[3] 関数 $f(x)=x^2+ax+b$ （ $a$ ， $b$ は実数）の $0 \leqq x \leqq 1$ における最小値を $m$ とする．
不等式 $a+2b\leqq2$ を満足する $a$ ， $b$ で， $m$ を最大にするものを求めよ．

[4] $xy$ 平面上の曲線 $y=\sqrt{|x^2-1|}$ と直線 $y=2$ とが囲む図形を $x$ 軸のまわりに回転してえられる回転体の体積を求めよ．

[5] 半径 $r$ の円に内接する正 $n$ 角形の頂点を順次 $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ， $\cdots\cdots$ ， $\mbox{A}_n$ とする．まず頂点 $\mbox{A}_2$ を中心とする半径 $\mbox{A}_2\mbox{A}_1$ の円と辺 $\mbox{A}_3\mbox{A}_2$ の延長（ $\overrightarrow{\mbox{A}_3\mbox{A}_2}$ の方向）との交点を $\mbox{B}_1$ として扇形 $\mbox{A}_2\mbox{A}_1\mbox{B}_1$ をつくる．次に頂点 $\mbox{A}_3$ を
中心とする半径 $\mbox{A}_3\mbox{B}_1$ の円と辺 $\mbox{A}_4\mbox{A}_3$ の延長（ $\overrightarrow{\mbox{A}_4\mbox{A}_3}$ の方向）との交点を $\mbox{B}_2$ として扇形 $\mbox{A}_3\mbox{B}_1\mbox{B}_2$ をつくる．順次このようにして $n$ 個の扇形をつくる．さて，正 $n$ 角形 $\mbox{A}_1\mbox{A}_2\cdots\cdots\mbox{A}_n$ の面積とこれら $n$ 個の扇形の面積の総和を $S_n$ で表わすとき，

(i) $S_n$ を $n$ ， $r$ を用いて表わせ．

(ii) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n$ を求めよ．

[6] $xy$ 平面上に二つの動点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ がある． $\mbox{P}$ は点 $(1，0)$ から出発し，原点 $\mbox{O}$ を中心とする半径 $1$ の円周上を正の向きに一定の速さ $\pi$ （円周率）で回転する． $\mbox{Q}$ は点 $(a，0)$ から $\mbox{P}$ と同時に出発し， $y$ 軸に平行な直線上を $y$ の増加方向に一定の速さ $v$ で進む．ただし $0\lt v\lt a\pi$ とする．

(i) 出発時から測って，時刻 $n$ と $n+1$ との間で $3$ 点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ が一直線上にならぶ時刻 $t_n$ がただ $1$ 回あることを示せ．ただし $n=0$ ， $1$ ， $2$ ， $\cdots\cdots$ とする．

(ii) $n$ が増してゆくと， $t_n-n$ は一定値に近づくことを示せ．

2026-03-20

2026年(令和8年)大阪大学-数学(文系)[3]

2026.03.18.12:03:15記

[3] $a$ を正の実数とする．関数 $f(x)=4ax^3+\dfrac{1-a}{a}-6\displaystyle\int_{x-1}^x (t^2+t)\, dt$ の $0\leqq x\leqq 1$ における最小値が正となるような $a$ の値の範囲を求めよ．

2026.03.20.19:26:13記
$f'(x)=12ax^2-6[(x^2+x)-\{(x-1)^2+(x-1)\}]$ $=12ax^2-12x=12x(ax-1)$ となりますが，結局 $f(x)$ が必要であり，積分部分を $0$ にする $x$ の値がないことから，素直に積分を実行しても手間は変わりません．

[解答]
$6\displaystyle\int_{x-1}^x (t^2+t)\, dt$ $=\Bigl[ 2t^3+3t^2\Bigr]_{x-1}^x$
$=2(3x^2-3x+1)+3(2x-1)=6x^2-1$ により， $f(x)=4ax^3-6x^2+\dfrac{1}{a}$ となる．

(i) $0\lt a\leqq 1$ のとき：

$x$	$0$	$\cdots$	$1$
$x$	$\dfrac{1}{a}$	$\searrow$	$\dfrac{4a^2-6a+1}{a}$

により， $0\lt a\lt\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ となる．

(i) $1\lt a$ のとき：

$x$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{1}{a}$	$\cdots$	$1$
$x$	$\dfrac{1}{a}$	$\searrow$	$\dfrac{a-2}{a^2}$	$\nearrow$	$\dfrac{4a^2-6a+1}{a}$

により， $2\lt a$ となる．

以上から， $0\lt a\lt\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ または $2\lt a$ となる．

端点と極値が最小値の候補と考えると，

$f(0)=\dfrac{1}{a}$ （これは $a\gt 0$ で正），
$f(1)=4a+\dfrac{1}{a}-6=\dfrac{4a^2-6a+1}{a}$ （これは $0\lt a\lt\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ または $\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}\lt a$ で正），
$f\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a-2}{a^2}$
（極小値が変域内に入る条件は $a\gt 1$ ，最小値が正となるのは $a\gt 2$ だから $a\gt 1$ ）
となり，求める $a$ の範囲が $0\lt a\lt\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ または $2\lt a$ となることがわかります．

2026-03-20

2026年(令和8年)大阪大学-数学(文系)[2]

2026年(令和8年)大阪大学-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
と同じ

2026-03-20

2026年(令和8年)大阪大学-数学(文系)[1]

2026.03.18.12:03:15記

[1] 正の実数の列 $\{a_n\}$ が次の条件によって定められている．
$a_1=1$ ， $a_2=2$ ， $a_{n+2}=\dfrac{3^na_{n+1}^2}{a_n}$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）

(1) $b_n=\log_2 a_{n+1}-\log_2 a_{n}$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）と定めるとき，数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ．

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．

2026.03.20.記

[解答]
(1) $\log_2 a_{n+2}=2\log_2 a_{n+1} -\log_2a_n+n\log_2 3$ であるから，
$b_1=1$ ， $b_{n+1}-b_n+n\log _2 3$
となるので， $b_n=1+\dfrac{(n-1)n}{2}\log_2 3$ となる．

(2) $\log_2 a_n$ $=\log_2 1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \left(1+\dfrac{(k-1)k}{2}\log_2 3\right)$ $=0+(n-1)+\dfrac{(n-2)(n-1)n}{6}\log_2 3$ （ $n=1$ でも成立）であるから， $a_n=2^{n-1}\cdot 3^{\tfrac{(n-2)(n-1)n}{6}}$ となる．