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2026-04-20

1975年(昭和50年)京都大学-数学(文系)

2026.04.20.18:13:32記

[1] あるスポーツ大会で，参加した $n$ 個のチームはつぎの方法（リーグ戦形式）で順位を争う．すなわち，どのチームも他の各チームとそれぞれ $1$ 回ずつ試合を行い，勝ち数の大小によって順位をきめるものとする．今年の大会では，引き分けが $1$ 回も起こらず，また同順位のチームがなかったという．このとき，どのチームもそれより下位のチームには必ず勝っていることを証明せよ．

[2] (i) $x\geqq0$ のとき $\sqrt{x}\leqq\dfrac{1}{2}(x+1)$ を示せ．

(ii) $\displaystyle\int_0^k\sqrt{x}\left( 1-\dfrac{x}{k} \right)^k\, dx\lt 1$ を示せ（ $k$ は自然数）．

[3] $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ がこの順に等差数列であり， $\sin\alpha$ ， $\sin\beta$ ， $\sin\gamma$ がこの順に等比数列であるのはどのようなときか．

[4] 直角をはさむ $2$ つの半直線 $\mbox{OA}$ ， $\mbox{OB}$ 上にそれぞれ点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ を， $\mbox{PQ}=2a$ （ $a$ は正の定数）であるようにとる．このとき， $\triangle\mbox{OPQ}$ の面積を最大にするには線分 $\mbox{OP}$ の長さをいくらにすればよいか．

[5] $f(x)=x^3-5x^2+3x+a$ とする． $x$ の正の値に対し，つねに $f(x)\gt 0$ となるのはどのようなときか．

[6] $a$ が実数で $a\lt 1$ のとき，数列 $x_0$ ， $x_1$ ， $x_2$ ， $\cdots$ ， $x_n$ ， $\cdots$ を $x_0=a$ ， $x_n=\dfrac{1}{2-x_{n-1}}$ （ $n=1$ ， $2$ ， $3$ ， $\cdots$ ）によって定義する．このとき

(i) $x_n$ を $n$ と $a$ で表わせ．

(ii) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2 \left( x_n-1+\dfrac{1}{n} \right)$ を求めよ．

2026-04-20

1974年(昭和49年)京都大学-数学(文系)

2026.04.20.16:27:31記

[1] 二次関数 $y=ax^2+bx+c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ は実数， $a\neq0$ ）のグラフが三点 $(1，3)$ ， $(2，6)$ ， $(-1，9)$ を通るという．この関数 $y$ の値が最小になるのは， $x$ がどの値のときか．

[2] $\triangle\mbox{ABC}$ において，辺 $\mbox{AB}$ ， $\mbox{BC}$ の長さがそれぞれ $2\,\mbox{cm}$ ， $5\,\mbox{cm}$ であって， $\triangle\mbox{ABC}$ の面積は $4\,\mbox{cm}^2$ である．
$\angle \mbox{ABC}=\theta$ とおくとき， $|\cos\theta|$ を求めよ．

[3] $(x^3+\sqrt{2}x^2+\sqrt[3] {3}x+1)^{100}$ を展開したときの， $x^{296}$ の係数を求めよ．

[4] $F(x)$ ， $g(x)$ が $x$ の多項式で，次の三条件をみたすものとする． $F(x)$ および $g(x)$ を求めよ．

(イ) $\dfrac{dF(x)}{dx}=g(x)$ ．

(ロ) $F(x)$ は $g(x)$ で割りきれる．

(ハ) $g(x)$ は $n$ 次式で， $x^n$ の係数は $1$ ， $x^{n-1}$ の係数は $0$ である．

[5] 正の定数 $a$ ， $b$ に対し，不等式 $\displaystyle 4m\lt n^2\lt 4m+\dfrac{a}{\sqrt{m}}+\dfrac{b}{m}$ を考え，次の問いに答えよ．

(イ) $m\gt 0$ ，かつ $m$ ， $n$ ともに整数であって，この不等式をみたすような $m$ ， $n$ の組は有限個しか存在しないことを証明せよ．

(ロ) $a=8$ ， $b=9$ ， $m\geqq9$ であるときは，上の不等式をみたす整数 $m$ ， $n$ の組は $n^2=4m+1$ をみたすことを証明せよ．

(ハ) (ロ)の場合の $m$ ， $n$ の組のうち， $n$ が最も大きいものを求めよ．

[6] (i) $\triangle\mbox{OP}_0\mbox{P}_1$ が与えられている．辺 $\mbox{P}_0\mbox{O}$ 上に点 $\mbox{P}_2$ ， $\mbox{P}_4$ ， $\cdots$ ， $\mbox{P}_{2n}$ ， $\cdots$ を，また辺 $\mbox{P}_1\mbox{O}$ 上に点 $\mbox{P}_3$ ， $\mbox{P}_5$ ， $\cdots$ ， $\mbox{P}_{2n+1}$ ， $\cdots$ を適当にとって，次の三条件(イ)〜(ハ)がみたされるようにしうるための， $\triangle\mbox{OP}_0\mbox{P}_1$ についての条件を求めよ．

(イ) $\mbox{P}_0$ ， $\mbox{P}_2$ ， $\mbox{P}_4$ ， $\cdots$ ， $\mbox{P}_{2n}$ ， $\cdots$ はこの順に線分 $\mbox{P}_0\mbox{O}$ 上にならび，しかも $n$ が大きくなるに従って， $\mbox{O}$ に近づく．

(ロ) $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_3$ ， $\mbox{P}_5$ ， $\cdots$ ， $\mbox{P}_{2n+1}$ ， $\cdots$ はこの順に線分 $\mbox{P}_1\mbox{O}$ にならんでいる．

(ハ) $\triangle\mbox{P}_{n-1}\mbox{P}_n\mbox{P}_{n+1}$ ∽ $\triangle\mbox{P}_n\mbox{P}_{n+1}\mbox{P}_{n+2}$ が， $n$ のどの自然数値に対しても成立する．（ここでいう相似は，左辺の三角形の $\mbox{P}_{n-1}$ ， $\mbox{P}_n$ ， $\mbox{P}_{n+1}$ が右辺の三角形の $\mbox{P}_n$ ， $\mbox{P}_{n+1}$ ， $\mbox{P}_{n+2}$ に順次対応した相似を意味する．）

(ii) 上のように点がとれたとき， $\triangle\mbox{P}_{n-1}\mbox{P}_n\mbox{P}_{n+1}$ の面積を第 $n[tex:項$ (n=1]， $2$ ， $\cdots)$ とする数列は

(イ) いつでも等比数列である

(ロ) 等比数列になる場合もあり，等比数列にならない場合もある

(ハ) けっして等比数列にはならない

のどれが正しいか，理由を付して答えよ．

2026-04-20

1974年(昭和49年)京都大学-数学(理系)

2026.04.20.13:45:32記

[1] $0\leqq\alpha\lt \beta\lt \gamma\lt 2\pi$ であって $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0$ ， $\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=0$ であるという． $\beta-\alpha$ と $\gamma-\beta$ の値を求めよ．

[2] 内部の形が半径 $10\mbox{cm}$ の半球形の容器（へりの大円が上部，水平におかれている）に水がいっぱいはいっている．ここから水をくみ出すのに，水面の下がる速さを $v\,\mbox{cm/秒}$ （一定）にしたい（もちろん，からになる時点までの範囲に限定する）．

(i) $t$ 秒間にくみ出す水の量はどれだけか．ただし $\displaystyle 0 \leqq t \leqq \dfrac{10}{v}$

(ii) $t$ 秒後において水をくみ出す速さはどれだけか，単位は $\mbox{cm}^3/\mbox{秒}$ で求めよ．ただし $\displaystyle 0\lt t\lt \dfrac{10}{v}$

[3] 底の断面の形が曲線 $y=x^4-6p^2x^2-8q^3x$ （ $p\gt 0$ ， $q\geqq0$ ）の形の容器がある．（ $y$ 軸は鉛直，正の方向を上方にとり， $x$ 軸は水平にとる．）最初 $q=0$ のときは，大体下図の形になっているので，図の点 $\mbox{A}$ の位置に小球をおく．ここで， $p$ は固定したまま， $q$ の値をだんだん大きくしていって，ある値を越えたら，この小球は右側のくぼみに転落した．この値を $p$ を用いて表わせ．

図

[4] $F(x)$ ， $g(x)$ が $x$ の多項式で，次の三条件をみたすものとする． $F(x)$ および $g(x)$ を求めよ．

(イ) $\dfrac{dF(x)}{dx}=g(x)$ ．

(ロ) $F(x)$ は $g(x)$ で割りきれる．

(ハ) $g(x)$ は $n$ 次式で， $x^n$ の係数は $1$ ， $x^{n-1}$ の係数は $0$ である．

[5] 正の定数 $a$ ， $b$ に対し，不等式 $\displaystyle 4m\lt n^2\lt 4m+\dfrac{a}{\sqrt{m}}+\dfrac{b}{m}$ を考え，次の問いに答えよ．

(イ) $m\gt 0$ ，かつ $m$ ， $n$ ともに整数であって，この不等式をみたすような $m$ ， $n$ の組は有限個しか存在しないことを証明せよ．

(ロ) $a=8$ ， $b=9$ ， $m\geqq9$ であるときは，上の不等式をみたす整数 $m$ ， $n$ の組は $n^2=4m+1$ をみたすことを証明せよ．

(ハ) (ロ)の場合の $m$ ， $n$ の組のうち， $n$ が最も大きいものを求めよ．

(ロ) $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_3$ ， $\mbox{P}_5$ ， $\cdots$ ， $\mbox{P}_{2n+1}$ ， $\cdots$ はこの順に線分 $\mbox{P}_1\mbox{O}$ にならんでいる．

(ii) 上のように点がとれたとき， $\triangle\mbox{P}_{n-1}\mbox{P}_n\mbox{P}_{n+1}$ の面積を第 $n[tex:項$ (n=1]， $2$ ， $\cdots)$ とする数列は

(イ) いつでも等比数列である

(ロ) 等比数列になる場合もあり，等比数列にならない場合もある

(ハ) けっして等比数列にはならない

のどれが正しいか，理由を付して答えよ．

2026-04-20

1973年(昭和48年)京都大学-数学(文系)

2026.04.20.11:15:13記

[1] $10$ 進法で $3$ けたの整数 $\alpha$ （ $\geqq0$ ）をとり， $\alpha$ の一位の数と百位の数をいれかえてできる数を $\alpha'$ とする．ただし， $1$ けたの数， $2$ けたの数もそれぞれその前に $00$ および $0$ をつけて $3$ けたの数とみなす． $\alpha$ が $0$ から $999$ までのすべての整数をとるとき，整数 $\alpha-\alpha'$ 全体の集合を $A$ とし， $A$ に含まれる正の整数全体の集合を $B$ とする．このとき

(i) $A$ ， $B$ に属する整数の個数を求めよ．

(ii) $B$ に属する整数の総和を求めよ．

[2] $p$ ， $q$ ， $r$ は実数とする．三次方程式 $x^3+px^2+qx+r=0$ において，一根が $1$ で他の二根はその絶対値がいずれも $1$ であるための必要十分条件を求めよ．

[3] 底辺の長さが $a\mbox{cm}$ ，その辺に対する頂角の大きさが $\theta^{\circ}$ （ $0\lt \theta\lt 180$ ）であるような三角形の面積の数値全体の集合を $\mbox{S}(a，\theta)$ で表わす．いま $0\lt a_1\leqq a_2$ ， $0\lt \theta_2\leqq\theta_1\lt 180$ であるとき， $\mbox{S}(a_1，\theta_1)$ と $\mbox{S}(a_2，\theta_2)$ の包含関係をしらべよ．とくに等しくなるのはどのような場合か．

[4] $\mathbf{a}$ ， $\mathbf{b}$ ， $\mathbf{c}$ は平面上の単位ベクトルで，どの二つも ${120}^{\circ}$ の角をなすものとする．
このとき，この平面上の任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して

(i) $(\mathbf{a}$ ， $\mathbf{x})+(\mathbf{b}$ ， $\mathbf{x})+(\mathbf{c}$ ， $\mathbf{x})=0$ が成り立つことを示せ．

(ii) ${(\mathbf{a}，\mathbf{x})}^2+{(\mathbf{b}，\mathbf{x})}^2+{(\mathbf{c}，\mathbf{x})}^2$ の値を $\mathbf{x}$ の大きさ $l$ を用いて表わせ．

ただし $(\mathbf{a}，\mathbf{x})$ などはベクトルの内積を表わす．

[5] $y=f(x)=ax^2+bx+c$ において， $f(0)\gt 0$ とし，この関数のグラフは点 $(1，1)$ および $(3，5)$ を通るものとする．このとき $f(x)$ の最小値を最大にするような $a$ ， $b$ ， $c$ の値を求めよ．

[6] 放物線 $y=ax^2-4$ （ $a\gt 0$ ）と直線 $y=5$ とで囲まれた部分の面積を $S$ とし，その部分を $y$ 軸のまわりに一回転してできる回転体の体積を $V$ とする．
$S$ ， $V$ の値を求め， $S$ と $V$ の間の $a$ を含まない関係式を導け．

2026-04-20

1973年(昭和48年)京都大学-数学(理系)

2026.04.20.11:07:20記

(i) $A$ ， $B$ に属する整数の個数を求めよ．

(ii) $B$ に属する整数の総和を求めよ．

[3] 正三角形 $\mbox{ABC}$ がある．点 $\mbox{O}$ を直線 $\mbox{AB}$ に関して $\mbox{C}$ と反対側にとって $\angle\mbox{AOB}={60}^{\circ}$ となるようにし，ベクトル $\overrightarrow{\mbox{OA}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}}$ をそれぞれ $\mathbf{a}$ ， $\mathbf{b}$ ， $\mathbf{c}$ で表わす．このとき
$\mathbf{c}=\dfrac{|\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a}+\dfrac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|}\mathbf{b}$
であることを証明せよ．ただし $|\mathbf{a}|$ ， $|\mathbf{b}|$ はそれぞれ $\mathbf{a}$ ， $\mathbf{b}$ の大きさを示す．

[4] $\displaystyle\lim_{n\to\infty} n \left[\dfrac{(\sqrt{n(n+1)}-n)^3}{n}- \dfrac{(\sqrt{n(n+1)}-(n+1))^3}{n+1}\right]$ を求めよ．

[5] $n$ は自然数とし， $\displaystyle f(x)=1+\dfrac{x^2}{1\cdot2}+\dfrac{x^3}{2\cdot3}+\cdots\cdots+\dfrac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ とする．このとき， $-1 \leqq x \leqq 1$ において $1 \leqq f(x)\lt 2$ であることを証明せよ．

[6] 当り“くじ”が確率 $p$ （ $0\lt p\lt 1$ ）で現われる“くじ”があり，たかだか $2$ 回引くことができる．各自，最初に得点 $1$ をもってこの“くじ”を引き、当り“くじ”ならば得点 $1$ を加え，そうでなければ $1$ だけ減ずる．“くじ”を引き終えたときの合計得点が負または $0$ ならば受け取る報酬は $0$ ，正ならばその得点がそのまま報酬になるものとする．このとき，

$\mbox{A}$ 君は一度も“くじ”を引かないことに決め，
$\mbox{B}$ 君は一度“くじ”を引き，当ればそこで止め，当らなければもう一度引くことに決め，
$\mbox{C}$ 君は当る当らないにかかわらず $2$ 回引くことに決めた．

$\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ $3$ 君の報酬の期待値を比較し，誰が一番有利であるかを判定せよ．

2026-04-20

1972年(昭和47年)京都大学-数学(文系)

2026.04.20.10:51:17記

[1] $2$ つまたは $3$ つのベクトルの加法について，次の法則が成立する．

$\overrightarrow{\mbox{A}}+\overrightarrow{\mbox{B}} =\overrightarrow{\mbox{B}}+\overrightarrow{\mbox{A}}$ ，
$(\overrightarrow{\mbox{A}}+\overrightarrow{\mbox{B}})+\overrightarrow{\mbox{C}} =\overrightarrow{\mbox{A}}+(\overrightarrow{\mbox{B}}+\overrightarrow{\mbox{C}})$

いま， $n$ 個のベクトルを $\overrightarrow{\mbox{A}_1}$ ， $\overrightarrow{\mbox{A}_2}$ ， $\cdots$ ， $\overrightarrow{\mbox{A}_n}$ とし，その順序を任意にかえたものを， $\overrightarrow{\mbox{B}_1}$ ， $\overrightarrow{\mbox{B}_2}$ ， $\cdots$ ， $\overrightarrow{\mbox{B}_n}$ とする．
上の $2$ つの法則だけをつかって，
$\overrightarrow{\mbox{A}_1}+\overrightarrow{\mbox{A}_2}+\cdots+\overrightarrow{\mbox{A}_n} = \overrightarrow{\mbox{B}_1}+\overrightarrow{\mbox{B}_2}+\cdots+\overrightarrow{\mbox{B}_n}$
がなりたつことを数学的帰納法を用いて示せ．なお，たとえば $4$ つのベクトル $\overrightarrow{\mbox{A}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{B}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{C}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{D}}$ について，その和 $\overrightarrow{\mbox{A}}+\overrightarrow{\mbox{B}}+\overrightarrow{\mbox{C}}+\overrightarrow{\mbox{D}}$ は $\{ (\overrightarrow{\mbox{A}}+\overrightarrow{\mbox{B}})+\overrightarrow{\mbox{C}} \}+\overrightarrow{\mbox{D}}$ を意味するものとし，一般の場合も同様とする．

[2] 実数または複素数の $x$ ， $y$ ， $z$ ， $a$ について， $x+y+z=a$ ， $x^3+y^3+z^3=a^3$ の $2$ 式が成立するとき， $x$ ， $y$ ， $z$ のうち少なくとも $1$ つは $a$ に等しいことを示せ．

[3] $3$ 角形 $\mbox{ABC}$ の内部の $1$ 点 $\mbox{P}$ を頂点とする $1$ つの平行4辺形を $\mbox{PQRS}$ とする． $\mbox{P}$ から $\mbox{Q}$ へ向かう半直線が $3$ 角形 $\mbox{ABC}$ の周と交わる点を $\mbox{Q}'$ とし， $\mbox{R}'$ ， $\mbox{S}'$ も同様の点とする． $\overrightarrow{\mbox{PQ}}=a\overrightarrow{\mbox{PQ}'}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PR}}=b\overrightarrow{\mbox{PR}'}$ ， $\overrightarrow{\mbox{PS}}=c\overrightarrow{\mbox{PS}'}$ とおくとき， $a+c \geqq b$ が成立することを示せ．（ $\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ などはベクトルを表わす）

[4] $3$ 次方程式 $\displaystyle x^3-ax^2+ax-\dfrac{a^2}{9}=0$ が相異なる $3$ 実根をもつために，実の定数 $a$ のみたすべき必要十分条件を求めよ．

[5] $a$ ， $c$ を定数， $t$ を媒介変数として次の式で表わされる $xy$ -平面上の曲線がある．
$\begin{cases} x=ca^t+t & \mbox{（$a\gt 1$）} \\ y=ca^t-t & \mbox{（$t$ はすべての実数値をとる）} \end{cases}$