2022.03.01記 [1] を正の実数とする．複素数平面上で，点 が点 を中心とする半径 の円周上を動くとき， を満たす点 が描く図形を求めよ．2022.03.01記 1次分数変換の円円対応。 [解答] を に代入して となる．整理して ，つまり となる．(i) のとき， は と …

2022.02.28記 [5] 平面上の曲線 を，媒介変数 を用いて次のように定める。 ，（）以下の問いに答えよ。(1) 区間 において，， であることを示せ。(2) 曲線 の の部分， 軸，直線 で固まれた図形の面積を求めよ。(3) 曲線 は 軸に関して対称であることを示せ…

2022.02.27記 [1] 座標空間内の5点 を考える。3点 を通る平面を とし，， とおく。以下の問いに答えよ。(1) ベクトル の両方に垂直であり， 成分が正であるような，大きさが1のベクトル を求めよ。(2) 平面 に関して点 と対称な点 の座擦を求めよ。(3) 点 が…

2022.02.27記 [4] 定積分について述べた次の文章を読んで，後の問いに答えよ。 区間 で連続な関数 に対して， となる関数 を1つ選び， の から までの定積分を ① で定義する。定積分の値は の選び方によらずに定まる。定積分は次の性質 (A),(B),(C) をもつ。…

何か、出題ミスくさいという話が伝わってきた。阪大は最近入試の出題ミスが結構多い気がする。2017年物理の波の問題 2021年化学(同じ冊子の生物に答があった)とか。やはり大学の教員を働かせすぎているのがいかんのかも。

2022.02.27記 [3] 自然数 が をみたすとき，以下の問いに答えよ。(1) ， は互いに素な整数であることを示せ。(2) は168の倍数であることを示せ。(3) [1] をみたす自然数の組 を1つ求めよ。2022.02.27記 東大、京大、九大とユークリッドの互除法はやってんな…

2022.02.27記 [2] を3以上の自然数， を相異なる実数とするとき，以下の問いに答えよ。(1) 次をみたす実数 と整式 が存在することを示せ。 (2) (1) の を を用いて表せ。(3) (2) の について， と を固定して， を に近づけたときの極限 を求めよ。2022.02.2…

2022.02.27記 [6] 数列 ， を次の式，（）]， ，，（）] により定める．このとき，数列 の一般項を求めよ． 2022.02.27記 の中にある が邪魔なので，とりあえず を意識して数列を順番に求めていこう． わざわざ を計算させるのは， によって のずれを吸収さ…

2022.02.27記 [5] 曲線 ， 軸および， 軸で囲まれる図形の面積を とする． とし， 上の点 と原点 ，および ， を頂点にもつ長方形 の面積を とする．このとき，次の各問に答えよ．(1) を求めよ．(2) は最大値をただ つの でとることを示せ．そのときの を と…

2022.02.27記 [4] 四面体 が ， ， を満たしているとする ． を辺 上の点とし， の重心を とする．このとき，次の各問に答えよ．(1) を示せ．(2) が 辺 上を動くとき， の最小値を求めよ． 2022.02.27記 の中点を とすると，四面体は面 に関して面対称である…

2022.02.27記 [3] を自然数とする． つの整数が の最大公約数 を求めよ．2022.02.27記 [解答] で ， であるから， である．よって（）のとき ， （）のとき ， （）のとき ， （）のとき ， （）のとき ， （）のとき となる。

2022.02.27記 [2] 箱の中に から までの番号がついた 枚の札がある． ただし とし，同じ番号の札はないとする．この箱から 枚の札を同時に取り出し，札の番号を小さい順に とする． このとき， かっ なる確率を求めよ． 2022.02.27記 [解答]，， とおくと，…

2022.02.27記 [1] であることを示せ． ただし， であることは用いてよい．2022.02.27記 とりあえず に気がつきたい。 [解答] である．また， により である． という評価は， がなるべく簡単になるような有理数を考えると，思いつくのはそれほど困難ではない…

2022.02.26記 [4] を原点とする座標平面上で考える。 以上の整数 に対して，ベクトル を と定める。投げたとき表と裏がどちらも の確率で出るコインを 回投げて，座標平面上に点 ，，，……， を以下の規則 (i),(ii) に従って定める。(i) は にある。(ii) を …

2022.02.26記 [3] 数列 を次のように定める。 ，（）(1) を で割った余りを求めよ。(2) ，， の最大公約数を求めよ。2022.02.26記 [解答] で考える。 のとき，， のとき，， のとき，，と漸化式の周期が3となることに注意して3項ずつ組にして考えると , , の…

2022.02.26記 [2] により定まる座標平面上の曲線を とする。 上の点 を通り，点 における の接線と垂直に交わる直線を とする。 と は相異なる3点で交わるとする。(1) のとりうる値の範囲を求めよ。(2) と の点 以外の2つの交点の 座標を とする。ただし と…

2022.02.26記 [1] を実数とする。座標平面上の放物線 を とおく。 は，原点で垂直に交わる2本の接線 を持つとする。ただし， と の接点 の 座標は， と の接点 の 座標より小さいとする。(1) を で表せ。また の値はすべての実数をとりうることを示せ。(2) …

2022.02.26記 [6] を原点とする座標平面上で考える。 以上の整数 に対して，ベクトル を と定める。投げたとき表と裏がどちらも の確率で出るコインを 回投げて，座標平面上に点 ，，，……， を以下の規則 (i),(ii) に従って定める。(i) は にある。(ii) を …

2022.02.26記 [5] 座標空間内の点 と点 を結ぶ線分 を 軸のまわりに1回転させて得られる曲面を とする。 上の点 と 平面上の点 が を満たしながら動くとき，線分 の中点 が通過しうる範囲を とする。 の体積を求めよ。2022.02.26記 線分 を直線 と勘違いして…

2022.02.26記 [4] 座標平面上の曲線 を考える。(1) 座標平面上のすべての点 が次の条件(i)を満たすことを示せ。(i) 点 を通る直線 で， 曲線 と相異なる3点で交わるものが存在する。(2) 次の条件(ii)を満たす点 のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。(ii) …

2022.02.26記 [3] を原点とする座標平面上で考える。 座標平面上の2 点 ， に対し，点が点から十分離れているとは， または が成り立つことと定義する。不等式 ， が表す正方形の領域を とし，その2つの頂点 ， を考える。 さらに，次の条件(i)，(ii)をとも…

2022.02.25記 [2] 数列 を次のように定める。 ，（）(1) 正の整数 が3の倍数のとき， は 5 の倍数となることを示せ。(2) を正の整数とする。 が の倍数となるための必要十分条件を を用いて表せ。(3) と の最大公約数を求めよ。 2022.02.25記 [解答](1) で考…

2022.02.25記 [1] 次の関数 を考える。 (1) は区間 において最小値を持つことを示せ。(2) の区間 において最小値を求めよ。2022.02.25記 [解答](1) であるから， で に注意すると，増減表は 極小 となるので， は で極小かつ最小となる．(2) 最小値は であり…

2022.02.26記 [1] を実数とする。座標平面上の放物線 を とおく。 は，原点で垂直に交わる2本の接線 を持つとする。ただし， と の接点 の 座標は， と の接点 の 座標より小さいとする。(1) を で表せ。また の値はすべての実数をとりうることを示せ。(2) …

2022.02.25記 [1] 次の関数 を考える。 (1) は区間 において最小値を持つことを示せ。(2) の区間 において最小値を求めよ。 [2] 数列 を次のように定める。 ，（）(1) 正の整数 が3の倍数のとき， は 5 の倍数となることを示せ。(2) を正の整数とする。 が …