2022.07.20記 [4] 半圓ノ弧ヲ無數ニ等分シタル各分點ヨリソノ直徑ニ下ス垂線ノ平均値ヲ求メヨ．2022.07.24記 [解答] 半円の半径を とする． 半円の弧を 等分したときの垂線の長さの平均を とすると であるから，

2022.07.20記 [3] 楕圓ノ共軛徑ノ平方ノ和及ビ雙曲線ノ共軛徑ノ平方ノ差ハ一定ナルコトヲ證明セヨ．本問のテーマ 楕円と双曲線の共役径 楕円の中心を通る弦(径)と平行な直線と，もとの楕円の2交点の中点の軌跡からなる楕円の弦を，その弦(径)の共役径という…

2022.07.20記 [2] ナル曲線ハノ如何ニヨラズ點ニテ互ニ切スルコトヲ證明セヨ． 2022.07.24記 現在の入試なら という条件を入れるのが普通． [うまい解答] 軸方向に倍，軸方向に倍拡大しても接線は接線にうつる．この変換，つまり ， によって与えられら曲線…

2022.07.20記 [1] ナルトキ ナルコトヲ證明セヨ．2022.07.24記 [解答] であるから となるので，この両辺を微分して となるので，整理して を得る．

2022.07.20記 [1] ナルトキ ナルコトヲ證明セヨ．[2] ナル曲線ハノ如何ニヨラズ點ニテ互ニ切スルコトヲ證明セヨ． [3] 楕圓ノ共軛徑ノ平方ノ和及ビ雙曲線ノ共軛徑ノ平方ノ差ハ一定ナルコトヲ證明セヨ．[4] 半圓ノ弧ヲ無數ニ等分シタル各分點ヨリソノ直徑ニ下…

2022.07.20記 [2] ガ大ナル時ハハ殆ンドニ等シキコトヲ證明セヨ． 2022.07.24記 [解答] が大きいときに と がほぼ等しいことを示せば良く， とおくと， が小さいときに と がほぼ等しいことを示せば良い．ここで であり， であるから， となり， が小さいと…

2022.07.20記 [1] 直交軸ニ關シナル抛物線アリ．其焦點ヲ通リテ軸ニ直交スル直線ト該抛物線トノ交點ニ於テ抛物線ニ切スル圖ノ半徑ヲ求ム． 2022.07.24記 放物線の法線と軸の交点と，接点から軸へ下した垂線の足との距離は一定である． 上の点 における法線 …

2022.07.20記 [1] 直交軸ニ關シナル抛物線アリ．其焦點ヲ通リテ軸ニ直交スル直線ト該抛物線トノ交點ニ於テ抛物線ニ切スル圖ノ半徑ヲ求ム．[2] ガ大ナル時ハハ殆ンドニ等シキコトヲ證明セヨ． 1940年(昭和15年)東京帝國大學醫學部醫學科-數學[1] - [別館]球面…

2022.07.20記 [4] 水平軸の周りに自由に廻轉し得る質量，半徑の滑車（一樣な圓板）がある．この滑車に糸を捲きつけてその端に質量の物體を吊し，バネで廻轉を止めてある．バネは滑車の面に沿うて水平に張られ，一端は固定され，他端は軸より上方の點で滑車に…

2022.07.20記 [3] 次の積分を計算せよ．(a) (b) 2022.07.24記 [解答] (a) とおくと となり，を代入して から よって となり， となる．よって (b) とおくと ，， であるから，

2022.07.20記 [2] がより小さい値からに限りなく近づくとき，次の函數の採るべき極限値を求めよ． 2022.07.24記 [解答] が1より小さい値から1に近づけた極限を考えるので， とおくと [別解] は分子分母が に近づく不定形の極限であるから，ロピタルの定理に…

2022.07.20記 [1] 楕圓體面 の切平面へ一點より下したる垂線の趾の軋跡の方程式を求めよ． 2022.07.24記 楕円体面上の点 における接平面は であるから， が楕円体に接する条件は と変形することにより つまり であることがわかる．なお，この式変形は実質的…

2022.07.20記 （力学含めて二時間半）[1] 楕圓體面 の切平面へ一點より下したる垂線の趾の軋跡の方程式を求めよ． [2] がより小さい値からに限りなく近づくとき，次の函數の採るべき極限値を求めよ． [3] 次の積分を計算せよ．(a) (b) [4] 水平軸の周りに自…

2022.07.20記 [3] 直交軸ニ關シ圓ヲ軸ノ周リニ廻轉シテ生ズル圓環體の體積及表面積ヲ求ム．但トス． 本問のテーマ パップス・ギュルダン(Pappus–Guldinus)の定理 2022.07.24記 もはや中学受験でも道具として使われるパップス・ギュルダンの定理． パップス・…

2022.07.20記 [2] 直交軸ニ關スル曲線ノ切線ヘ主軸上ノ定點ヨリ下セル垂線ノ最小値ヲ求ム．但及ハ正トス． 本問のテーマ 放物線と円が接するとき（放物線の曲率），放物線に含まれる円 2022.07.23記 [解答] 曲線 は放物線であり，曲線上の接点における法線は…

2022.07.20記 （二時間）[1] 次ノ函数ノぐらふヲ畫ケ． 本問のテーマ 鋸波のフーリエ級数展開 2022.07.23記鋸波とは，（）を周期 で繰り返したものであり，そのフーリエ級数展開は である．この鋸波を 軸方向に だけ平行移動して， について対称移動させて …

2022.07.20記 （二時間）[1] 次ノ函数ノぐらふヲ畫ケ． [2] 直交軸ニ關スル曲線ノ切線ヘ主軸上ノ定點ヨリ下セル垂線ノ最小値ヲ求ム．但及ハ正トス．[3] 直交軸ニ關シ圓ヲ軸ノ周リニ廻轉シテ生ズル圓環體の體積及表面積ヲ求ム．但トス． 1940年(昭和15年)東京…