[4] 二つの曲線 及び によつて圍まれたる部分の面積を求めよ．

[3] 次の不定積分を求めよ． i. ii.

[2] 次の2個の円の交角を求めよ． ，

[1] i. の極小値を求めよ．ii. なるときの を求めよ．

（注意：問題は一題毎に別の答案用紙に書くこと．）[1] i. の極小値を求めよ．ii. なるときの を求めよ．[2] 次の2個の円の交角を求めよ． ， [3] 次の不定積分を求めよ．i. ii. [4] 二つの曲線 及び によつて圍まれたる部分の面積を求めよ．

[2] 平面の極座標 ， を用いて で表わされる曲線の囲む面積を求めよ．但し とする．

[1] が十分大きい値をとれば であることを証明せよ．但し ，，， は正の定数とする．

[1] が十分大きい値をとれば であることを証明せよ．但し ，，， は正の定数とする．[2] 平面の極座標 ， を用いて で表わされる曲線の囲む面積を求めよ．但し とする．1949年(昭和24年)東京大学(旧制)医学部薬学科-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIIS…

[4] が正の整数なるとき なることを証明せよ．

[3] 前問の曲線 の逐次の極大極小値も亦等比級数をなすことを証明せよ．前問 1949年(昭和24年)東京大学(旧制)医学部医学科-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] 曲線 （ とする）に於て 軸と曲線の間にはさまれる面積は等比級数をなすことを証明せよ．

[1] 楕円 の上の一点よりその短軸を直径とする円 に切線を引きその二つの切点を結ぶ直線と楕円の両軸との交点を ， とすれば は一定なることを証明せよ．

[1] 楕円 の上の一点よりその短軸を直径とする円 に切線を引きその二つの切点を結ぶ直線と楕円の両軸との交点を ， とすれば は一定なることを証明せよ．[2] 曲線 （ とする）に於て 軸と曲線の間にはさまれる面積は等比級数をなすことを証明せよ．[3] 前問…

[3] 直交軸 に關して ，， なる三條件を同時にみたす領域の全面積を求めよ．ただし とする．2022.07.20記 [解答] 求める面積を とする．軸方向に倍拡大した座標系，で考えると面積は 倍になる．このとき，，， で定まる領域の面積を求めれば良い．円と直線の…

[2] 直交軸 に關して の表わす曲線を追跡せよ．本によっては [2] 直交軸 に關して の表わす曲線を追跡せよ．になっている（こちらは1936年(昭和11年)東京帝國大學理學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR）．2022.07.20記 [解答] とおくと は偶関数…

[1] 次の連立方程式 ，， を滿足する ，， の値の組合せを求めよ．2022.07.20記 [解答] 行列式を展開すると ，， から ，， となる．(1) のとき ，， から は についての3次方程式 の3解であるから (1) のとき ，， から は についての3次方程式 の3解である…

[1] 次の連立方程式 ，， を滿足する ，， の値の組合せを求めよ．[2] 直交軸 に關して の表わす曲線を追跡せよ．[3] 直交軸 に關して ，， なる三條件を同時にみたす領域の全面積を求めよ．ただし とする．（二時間）1949年(昭和24年)東京大学(旧制)工学部-…

[3] 次の函数 のグラフをえがけ． 2020.03.26記 と置換。 かどうかで場合分けして を利用すると となる。この積分は、複素関数の積分で留数計算をして求める練習問題で良く見かける。2020.03.27記 [解答] のとき、 は発散 は発散 のとき、 とおくと、 である…

[2] 直交座標において楕円 の上の点から，直線 までの距離の最小値を求めよ．2020.03.26記 [解答] 楕円の傾き の接線は、 と を連立して を消去して得られる の2次方程式の判別式が0となる条件から、 となるので、(i) のとき、 (ii) のとき、 (iii) のとき、

[1] ，，， （ ）を実数とし， とすれば，方程式 は少くとも二つの虚根を有することを証明せよ．2020.03.26記 [解答] 解を とする。もし全てが実数とすると、解と係数の関係から となり、 となり、 に矛盾。よって方程式は少なくとも2つの虚数解をもつ。

（注意）1. 答案ハ各問毎ニ別々ノ紙ニ認メルコト． 2. 答エ得ナイ場合ニハ答案用紙ニソノ旨ヲ書イテ差出スコト．[1] ，，， （ ）を実数とし， とすれば，方程式 は少くとも二つの虚根を有することを証明せよ．[2] 直交座標において楕円 の上の点から，直線 …