2024.02.07記 [3] グラフ とは有限個の頂点の集合 とそれらの間を結ぶ辺の集合 からなる図形をする．各辺は丁度2つの頂点， を持つ．頂点以外での辺同士の交わりは考えない．さらに，各頂点には白か黒の色がついていると仮定する．例えば，図1のグラフは頂点…

2022.05.26記 [4] は自然数で は定数とする．平面上の点を頂点とし，原点と点を通る放物線を考える．この放物線と軸で囲まれる領域の面積を，この領域の内部および境界線上にある格子点の数をとする．このとき，極限値を求めよ．ただし 平面上の格子点とはそ…

2024.02.07記 [1] 平面上の点 を中心とし半径が の円周 と， を中心とし半径が の円周 を与える． の平面上の3点 ，， を頂点とし，角 が直角になるような直角二等辺三角形 に関して次の問いに答えよ．(1) 点 が円周上を動き，点 が円周上を動くとき，第3の…

2024.02.07記 [4] 空間に3点 ，， をとる． を1つの面とし， の部分に含まれる正四面体 をとる．さらに を1つの面とし，点 と異なる点 をもう1つの頂点とする正四面体 をとる．(1) 点 の座標を求めよ．(2) 正四面体 の の部分の体積を求めよ．2021.01.11記 …

2024.02.07記 [3] (1) は を満たす角とする． となる を で表し，そのグラフを 平面上に図示せよ．(2) は を満たす角とする． を満たす角 ，，，… を で定める． を 以上の整数として， となる の個数を で表せ．本問のテーマ テント写像（パイこね変換）202…

2024.02.07記 [2] ，は実数で，とする． 平面に原点 および 点 ， をとる．(1) が鋭角三角形となるための ， の条件を不等式で表し，点 の範囲を 平面上に図示せよ．(2) ， を整数とする．， が(1)で求めた条件を満たすとき，不等式 が成り立つことを示せ．2…

1998年(平成10年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR に同じ

2024.02.07記 [1] は0でない実数とする．関数 の極大値と極小値の差が最小となる の値を求めよ．[2] ，は実数で，とする． 平面に原点 および 点 ， をとる．(1) が鋭角三角形となるための ， の条件を不等式で表し，点 の範囲を 平面上に図示せよ．(2) ， …

2024.02.07記 [6] 空間に5点 ，，，， をとる．四角錐 の を満たす部分の体積を求めよ．本問のテーマ シュタインメッツの立体(Steinmetz solid) 2020.09.26記 この問題の隠された秘密は，四角錐の高さを 倍にしたものを6個用意するということなのだが，これ…

2024.02.07記 [5] は をみたす実数とする． 平面にベクトル ， をとり，点 ，，，，… を で定める．ただし， は原点で， および はベクトルの内積を表す．とおく．数列 ， がともに収束する の範囲を求めよ． さらに，このような に対して，極限値 ， を求め…

2024.02.07記 [4] 実数 に対して をみたす整数 を で表す． を正の整数として， とおく． 個の整数 ，，，…， のうち相異なるものの個数を を用いて表せ．2021.01.12記 なら が確実に成立します．また， なら または となり，連続する整数値をとることになり…

2024.02.07記 [3] 平面に2つの円 ， をとり， を 軸と ， に接する円とする．さらに，，，… に対して を 軸と ， に接する円で とは異なるものとする． の半径を ， と 軸の接点を として，， とおく．(1) は整数であることを示せ．(2) も整数で， と は互い…

2024.02.07記 [2] を正の整数とする．連立不等式 をみたす 空間の点 で，，， がすべて整数であるものの個数を とおく．極限 を求めよ．本問のテーマ エルハート多項式（数え上げ関数）(2021.01.21記) 2021.01.08記 を頂点とする立方体に内接する正四面体の…

2024.02.07記 [1] は0でない実数とする．関数 の極大値と極小値の差が最小となる の値を求めよ． 2020.09.30記 の係数が （）の3次関数 の極大値と極小値（が存在する場合）の差は の2解を （）とするとき，極大値は ，極小値は だから， となる． [解答] は…

2024.02.07記 [1] は0でない実数とする．関数 の極大値と極小値の差が最小となる の値を求めよ．[2] を正の整数とする．連立不等式 をみたす 空間の点 で，，， がすべて整数であるものの個数を とおく．極限 を求めよ．[3] 平面に2つの円 ， をとり， を 軸…