2023年(令和5年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.22記

[3] $a$ を実数とし，座標平面上の点 $(0，a)$ を中心とする半径1の円の周を $C$ とする．

(1) $C$ が，不等式 $y\gt x^2$ の表す領域に含まれるような $a$ の範囲を求めよ．

(2) $a$ は(1)で求めた範囲にあるとする． $C$ のうち $x\geqq0$ かつ $y\lt a$ を満たす部分を $S$ とする． $S$ 上の点 $\mbox{P}$ に対し，点 $\mbox{P}$ での $C$ の接線が放物線 $y=x^2$ によって切り取られてできる線分の長さを $L_{\small\mbox{P}}$ とする． $L_{\small\mbox{Q}}=L_{\small\mbox{R}}$ となる $S$ 上の相異なる2点 $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ が存在するような $a$ の範囲を求めよ．

2023.11.23記

[解答]
(1) $C$ の方程式は $y=a\pm\sqrt{1-x^2}$ （ $-1\leqq x\leqq 1$ ）であるから， $-1\leqq x\leqq 1$ で常に $a\gt x^2+\sqrt{1-x^2}$ をみたす $a$ の範囲を求めれば良い．ここで $x=\cos\theta$ （ $0\leqq \theta\leqq \pi$ ）とおくと
$x^2+\sqrt{1-x^2}=cos^2\theta+\sin\theta=-\left(\sin\theta-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{5}{4}$
だから，求める $a$ の範囲は $a\gt \dfrac{5}{4}$ となる．

(2) $\mbox{P}(\sin\theta，a-\cos\theta)$ （ $0\leqq\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ ）とおける．
$\mbox{P}$ における $C$ の接線は
$(\sin\theta)x-(\cos\theta)(y-a)=1$
であるから，これと $y=x^2$ の交点の $x$ 座標を $\alpha，\beta$ とすると， $\alpha，\beta$ は
$(\sin\theta)x-(\cos\theta)(x^2-a)=1$
つまり
$(\cos\theta)x^2-(\sin\theta)x+1-a\cos\theta=0$
の2解となり，よって
$L_{\small\mbox{P}}=\dfrac{1}{\cos^2\theta}(\beta-\alpha)^2$ $=\dfrac{\sin^2\theta-4\cos\theta(1-a\cos\theta)}{cos^4\theta}$
となる．ここで $u=\dfrac{1}{\cos\theta}$ （ $u\geqq 1$ ）とおくと
$L^2=u^4-4u^3+(4a-1)u^2=:f(u)$
となり，これが $u\geqq 1$ で極値をもつことが必要十分条件となる．
$f'(u)=2u(2u^2-6u+4a-1)$
であるから，

(i) $a-2(4a-1)\leqq 0$ ，つまり $a\geqq\dfrac{11}{8}$ のとき：
$f(u)$ は $u\geqq 1$ で単調増加となり不適

(ii) $a-2(4a-1)\gt 0$ ，つまり $\dfrac{5}{4}\lt a\lt\dfrac{11}{8}$ のとき：
$f(u)$ は $u=\dfrac{3+\sqrt{11-8a}}{2}$ （ $\gt 1$ ）で極小となり適する．

以上から求める $a$ の範囲は $\dfrac{5}{4}\lt a\lt\dfrac{11}{8}$ となる．

(1) $y=x^2$ 上の点における法線と $y$ 軸の交点の $y$ 座標はもとの $y$ 座標より $\dfrac{1}{2}$ だけ大きいという有名性質を使うと， $y\geqq x^2$ に半径1の円板をおとすと， $\left(\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}，\dfrac{3}{4}\right)$ で接することが直ちにわかるので，そのときの $a=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{4}$ よりも大きければ良いことがわかる．