2024.04.27記 [3] 次の問いに答えよ． (1) すべての正の実数 ， に対して，不等式 が成り立つことを示せ．ここで は自然対数を表す．(2) ， は実数で とする．関数 と は閉区間 で正の値をとる連続関数で， をみたす． このとき，不等式 が成り立つことを示…

2024.02.13記 [1] 実数全体で定義された関数を考える．(1) の増減・凹凸を調べ のグラフの概形を図示せよ．(2) 正の数 に対して と 軸，および で囲まれた領域を とする． を 軸のまわりに回転させてえられる立体の体積を とおくとき を求めよ．(3) の にお…

2020.09.18記 [4] (1) で定義された関数 について，導関数 を求めよ．(2) 極方程式 （）で定義される曲線の， の部分の長さを求めよ．2020.09.18記 双曲線関数極座標の曲線の長さは (1) とおくと だから， となり (2) であり， （） と置換すると なる を用…

2020.08.11記 2024.02.13記 [3] 区間 において関数 を とおく． を満たす実数 を初期値として数列 を （） で定める．このとき次の問に答えよ．(1) を満たす， なる実数 をすべて求めよ．(2) が(1)で求めた の値の1つに等しくなるような初期値 をすべて求め…

2019.02.21記 [2] 空間において次のような3つの互いに合同な長方形 ，， を考える． は 平面に含まれ，，，， を頂点とする． は 平面に含まれ，，，， を頂点とする． は 平面に含まれ，，，， を頂点とする．ここで とする．このとき次の問に答えよ．(1) …

2020.09.18記 2024.02.13記 [1] 実数全体で定義された関数を考える．(1) の増減・凹凸を調べ のグラフの概形を図示せよ．(2) 正の数 に対して と 軸，および で囲まれた領域を とする． を 軸のまわりに回転させてえられる立体の体積を とおくとき を求めよ…

2024.02.13記 [4] 円周上に 個の赤い点と 個の青い点を任意の順序に並べる．これらの点により，円周は 個の弧に分けられる．このとき，これらの弧のうち両端の点の色が異なるものの数は偶数であることを証明せよ．ただし，，であるとする．2021.01.17記 [解…

2020.08.03記 [3] 2つの関数 ， が次の つの条件を満たしているとする． ，，，， ここで ， の導関数をそれぞれ ， で表している．このような関数のうちで，定積分 の値を最小にするような と を求めよ．ただし，， はそれぞれ ， の導関数を表す．本問のテ…

2002年(平成14年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2024.02.13記 [1] 2つの放物線 が相異なる 点で交わるような の範囲を求めよ． ただし，とする．2021.01.17記 [解答] 2つの放物線（凸図形）は原点対称だから，求める必要十分条件は，原点が の領域に含まれることであり， である． に注意して整理すると （…

2024.02.13記 [1] 2つの放物線 が相異なる 点で交わるような の範囲を求めよ． ただし，とする．[2] は正の整数とする． を で割った余りを とおく．(1) 数列 ，，，，，…，は を満たすことを示せ．(2) ，，，… に対して，， は共に正の整数で，互いに素であ…

2024.02.13記 [6] を正の整数とする． 個の項からなる数列 を という数列に並べ替える操作を「シャッフル」と呼ぶことにする．並べ替えた数列は を初項とし， の次に ， の次に が来るようなものになる．また，数列 ， をシャッフルしたときに得られる数列に…

2024.02.13記 [5] を原点とする 空間に点 ，，，…，，をとる．また， 軸上 の部分に，点 を線分 の長さが になるようにとる．三角錐(すい) の体積を とおいて，極限 を求めよ．2021.01.18記 [解答] である． とおくと より となるので， となり， （直径1の…

2024.02.13記 [4] は正の実数とする． 平面の 軸上に点 をとる．関数 のグラフを とする． 上の点 で次の条件を満たすものが原点 以外に存在するような の範囲を求めよ．条件： における の接線が直線と直交する．2021.01.18記 [解答] における法線が を通る…

2024.02.13記 [3] 空間内の原点 を中心とし，点 を通る球面を とする． の外側にある点 に対し， を直径とする球面と との交わりとして得られる円を含む平面を とする．点 と点 から平面 へ下した垂線の足をそれぞれ ， とする．このとき， であるような点 …

2024.02.13記 [2] は正の整数とする． を で割った余りを とおく．(1) 数列 ，，，，，…，は を満たすことを示せ．(2) ，，，… に対して，， は共に正の整数で，互いに素であることを証明せよ．2021.01.17記 フィボナッチ数列の隣合う項は互いに素． [解答] …

2024.02.13記 [1] 2つの放物線 が相異なる 点で交わるような一般角 の範囲を求めよ．2021.01.17記 [解答] 2つの放物線（凸図形）は原点対称だから，求める必要十分条件は，原点が の領域に含まれることであり， である． に注意して整理すると （∵ ） よって…

2024.02.13記 [1] 2つの放物線 が相異なる 点で交わるような一般角 の範囲を求めよ．[2] は正の整数とする． を で割った余りを とおく．(1) 数列 ，，，，，…，は を満たすことを示せ．(2) ，，，… に対して，， は共に正の整数で，互いに素であることを証…