2023.12.20記 [5] 空間において， 点 ，， を頂点とする三角形 を考える．以下の問に答えよ．(1) を求めよ．(2) に対し，線分 ， と平面 との交点をそれぞれ ， とする．点 ， の座標を求めよ．(3) に対し，点 と線分 の距離を で表せ．ただし，点と線分の距…

2023.12.20記 [4] 複素数平面上に 点， がある．ただし， は虚数単位である．複素数 に対し で表される点 を考える．以下の問に答えよ．(1) ，， のときの をそれぞれ計算せよ．(2) 実数 に対し とする． について， の実部を求め，さらに を求めよ．(3) と…

2023.12.20記 [3] 実数 に対して関数 を で定め，正の実数 に対して関数 を で定める．また， のグラフをそれぞれ， とする．以下の問に答えよ．(1) と がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ．(2) 直線 と が 点で交わることを示せ．ただし，必要なら を…

2023.12.20記 [1] 赤玉と黒玉が入っている袋の中から無作為に玉を1つ取り出し，取り出した玉を袋に戻した上で，取り出した玉と同じ色の玉をもう1つ袋に入れる操作を繰り返す．以下の問に答えよ．(1) 初めに袋の中に赤玉が1個，黒玉が1個入っているとする． …

2023.12.20記 [1] を自然数として，整式 を で割った余りを とおく．以下の問に答えよ．(1) と を，それぞれ と を用いて表せ．(2) 全ての に対して， と は で割り切れないことを示せ．(3) と を と で表し，全ての に対して， つの整数 と は互いに素であ…

2023.12.16記 [3] 何も入っていない2つの袋A，Bがある．いま，「硬貨を1枚投げて表が出たら袋A，裏が出たら袋Bを選び，以下のルールに従って選んだ袋の中に玉を入れる」という操作を繰り返す． ルール・選んだ袋の中に入っている玉の数がもう一方の袋の中に…

2023.12.03記 [2] 分母が奇数，分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする．例えば ， はそれぞれ ， と表せるから，ともに控えめな有理数である． 個以上の有理数の控えめな有理数 ，， に対して，集合 を， と定める．例えば は…