[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2010年(平成22年)東京大学前期-数学(理科)[1]

2021.02.09記

[解答]

(1) 一周させてできる体積の \dfrac{1}{4} と直方体の体積の和の \dfrac{\pi(a^2+c^2)b}{4}+abc

(2) b を固定して a+c が一定のとき V=\dfrac{\pi(a^2+c^2)b}{4}+abc=\dfrac{\pi\{(a+c)^2-2ac\}b}{4}+abc=\dfrac{\pi(a+c)^2b}{4}-\dfrac{(\pi -2)abc}{2}=\dfrac{\pi(1-b)^2b}{4}-\dfrac{(\pi -2)b(ac)}{2} であり，0\lt ac\leqq \dfrac{(1-b)^2}{4} であるから，固定された b に対して \dfrac{\pi(1-b)^2b}{4}-\dfrac{(\pi -2)b(1-b)^2}{8}=\dfrac{\pi+2}{8}(1-b)^2b\leqq V\lt \dfrac{\pi(1-b)^2b}{4} が成立する．0\lt b\lt 1 で 0\lt (1-b)^2b \leqq \dfrac{4}{27} であるから，0\lt V\lt\dfrac{4}{27}