2024年(令和6年)東京工業大学-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.04.21記(09:25:59)

[4] $n$ を正の整数とし， $C_1,\ldots,C_n$ を $n$ 枚の硬貨とする．各 $k=1,\ldots,n$ に対し，硬貨 $C_k$ を投げて表が出る確率を $p_k$ ，裏が出る確率を $1-p_k$ とする．この $n$ 枚の硬貨を同時に投げ，表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功，というゲームを考える．

(1) $p_k=\dfrac{1}{3}$ （ $k=1,\ldots,n$ ）のとき，このゲームで成功する確率 $X_n$ を求めよ．

(2) $p_k=\dfrac{1}{2(k+1)}$ （ $k=1,\ldots,n$ ）のとき，このゲームで成功する確率 $Y_n$ を求めよ．

(3) $n=3m$ ( $m$ は正の整数)で， $k=1,\ldots,3m$ に対して
$p_k=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1}{3m} & (k=1,\ldots,m) \\ \dfrac{2}{3m} & (k=m+1,\ldots,2m) \\ \dfrac{1}{m} & (k=2m+1,\ldots,3m) \end{array}\right.$
とする．このゲームで成功する確率を $Z_{3m}$ とするとき， $\displaystyle\lim_{m\to\infty} Z_{3m}$ を求めよ．

本問のテーマ

非定常マルコフ過程（(1)は定常）
（通常型）母関数

2024.04.21記
(1) $X_n$ の漸化式を作って解く
(2) $Y_n$ の漸化式を作って解く
(3) 最初の $m$ 個，次の $m$ 個，最後の $m$ 個で奇数となる確率を計算して，それを組合せて $Z_{3m}$ を考える

というのが思いつくが，一般項を $p_n$ を利用して表現できることに気がつくと速い．

2024.04.28記

[解答]
このゲームは
$A_1=p_1$ ，
$A_{n+1}=(1-A_n)p_{n+1}+A_n(1-p_{n+1})$ $=(1-2p_{n+1})A_n+p_{n+1}$
の型の漸化式に従うので
$A_{n+1}-\dfrac{1}{2}=(1-2p_{n+1})\left(A_n-\dfrac{1}{2}\right)$
から
$A_{n}=\dfrac{1}{2}-\displaystyle\dfrac{1}{2} \prod_{k=1}^{n}(1-2p_{n})$
が成立する．

(1) $X_{n}=\dfrac{1}{2}-\displaystyle\dfrac{1}{2} \prod_{k=1}^{n}\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2\cdot 3^n}$ となる．

(2) $Y_{n}=\dfrac{1}{2}-\displaystyle\dfrac{1}{2} \prod_{k=1}^{n}\dfrac{k}{k+1}$ $=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2(n+1)}$ $=\dfrac{n}{2(n+1)}$ となる．

(3) $Z_{n}=\dfrac{1}{2}-\displaystyle\dfrac{1}{2} \left(1-\dfrac{2}{3m}\right)^m \left(1-\dfrac{4}{3m}\right)^m \left(1-\dfrac{2}{m}\right)^m$ $\to\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot e^{-\frac{2}{3}}\cdot e^{-\frac{4}{3}}\cdot e^{-2}$ $=\dfrac{1-e^{-4}}{2}$
（ $m\to\infty$ ）

[大人の解答]
$n$ 回の試行に関する通常型母関数は
$f(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^n \{p_kx+(1-p_k)\}$
であり，この奇数次の項の係数和が成功確率となる．よって成功確率は
$\dfrac{f(1)-f(-1)}{2}$ $=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\displaystyle\prod_{k=1}^n (1-2p_k)$
によって得られる．