2010年(平成22年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2010年(平成22年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.02.09記

(2) で log が登場するには中辺を真面目に積分しなければならない．

[解答]

(1) $\dfrac{1-x}{k+1}\lt\dfrac{1-x}{k+x}\lt\dfrac{1-x}{k}$ により $\displaystyle\int_0^1\dfrac{1-x}{k+1}dx$ $\lt\displaystyle\int_0^1\dfrac{1-x}{k+x}dx$ $\lt\displaystyle\int_0^1\dfrac{1-x}{k}dx$ であり， $\displaystyle\int_0^1(1-x)dx=\dfrac{1}{2}$ だから $\dfrac{1}{2(k+1)}$ $\lt\displaystyle\int_0^1\dfrac{1-x}{k+x}dx$ $\lt\dfrac{1}{2k}$

(2) $\displaystyle\int_0^1\dfrac{1-x}{k+x}dx$ $=\displaystyle\int_0^1\Bigl(\dfrac{k+1}{k+x}-1\Bigr)dx$ $=(k+1)\{\log (k+1) -\log k\}-1$ であるから，
$\dfrac{1}{2(k+1)}$ $\lt (k+1)\{\log (k+1) -\log k\}-1$ $\lt\dfrac{1}{2k}$
が成立する．よって $\dfrac{1}{2(k+1)^2}$ $\lt \log (k+1) -\log k-\dfrac{1}{k+1}$ $\lt\dfrac{1}{2k(k+1)}$
となり， $\dfrac{1}{2(k+1)(k+2)}\lt \dfrac{1}{2(k+1)^2}$ から
$\dfrac{1}{2(k+1)(k+2)}$ $\lt \log (k+1) -\log k-\dfrac{1}{k+1}$ $\lt\dfrac{1}{2k(k+1)}$
つまり
$\dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+2}\Bigr)$ $\lt \log (k+1) -\log k-\dfrac{1}{k+1}$ $\lt \dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+2}\Bigr)$
が成立する．よって $k=n$ から $k=m-1$ まで加えると
$\dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{m+1}\Bigr)$ $\lt \log m-\log n -\displaystyle\sum_{k=n+1}^m\dfrac{1}{k}$ $\lt \dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}\Bigr)$ ，つまり
$\dfrac{m-n}{2(m+1)(n+1)}$ $\lt \log\dfrac{m}{n} -\displaystyle\sum_{k=n+1}^m\dfrac{1}{k}$ $\lt \dfrac{m-n}{2mn}$ が成立する．

大数のフォローノート，(2) を面積評価で証明する別解が載っている．