2024年(令和6年)東京工業大学-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.03.21記

[3] $xy$ 平面上に，点 $\mbox{A}(a，0)$ ， $\mbox{B}(0，b)$ ， $\mbox{C}(-a，0)$ （ただし $0\lt a\lt b$ ) をとる．点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を通る直線を $\ell$ とし，点 $\mbox{C}$ を通り線分 $\mbox{BC}$ に垂直な直線を $k$ とする．さらに，点 $\mbox{A}$ を通り $y$ 軸に平行な直線と直線 $k$ との交点を $\mbox{C}_1$ とし，点 $\mbox{C}_1$ を通り $x$ 軸に平行な直線と直線 $\ell$ との交点を $\mbox{A}_1$ とする．以下， $n=1，2，3，\ldots$ に対して，点 $\mbox{A}_n$ を通り $y$ 軸に平行な直線と直線 $k$ との交点を $\mbox{C}_{n+1}$ ，点 $\mbox{C}_{n+1}$ を通り $x$ 軸に平行な直線と直線 $\ell$ との交点を $\mbox{A}_{n+1}$ とする．

(1) 点 $\mbox{A}_{n}$ ， $\mbox{C}_{n}$ の座標を求めよ．

(2) $\triangle\mbox{CBA}_n$ の面積 $S_n$ を求めよ．

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\mbox{BA}_n}{\mbox{BC}}$ を求めよ．

本問のテーマ

ピタゴラスの定理の2023年に示された新証明

2024.03.21記
2024年(令和6年)立命館大学2月2日-理系数学[2]
2024年(令和6年)立命館大学2月2日-理系数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

と同じく、ピタゴラスの定理の2023年に示された新証明
gigazine.net
を説明した問題である．

$\mbox{D}(-a-b,a)$ とおくと，(3) と同様にして
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\mbox{CC}_n}{\mbox{BC}}$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\mbox{CC}_n}{\mbox{DC}}$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\mbox{C}_nのx座標+a}{b}$ $=\dfrac{\dfrac{a(a^2+b^2)}{b^2-a^2}+a}{b}$ $=\dfrac{2ab}{b^2-a^2}$
が成立するので，直線 $l$ と $k$ の交点を $\mbox{E}$ とおくと，(3)から
$\mbox{BE}:\mbox{BC}=(a^2+b^2):(b^2-a^2)$
となり，先程の式から
$\mbox{BC}:\mbox{EC}=(b^2-a^2):2ab$
となるので，
$\mbox{BE}:\mbox{BC}:\mbox{EC}=(a^2+b^2):(b^2-a^2):2ab$
が成立する．よって
$\mbox{BE}^2=\mbox{BC}^2+\mbox{EC}^2$
が成立する，つまりピタゴラスの定理が成り立つ．