2024年(令和6年)東京工業大学-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.03.21記

[3] $xy$ 平面上に，点 $\mbox{A}(a，0)$ ， $\mbox{B}(0，b)$ ， $\mbox{C}(-a，0)$ （ただし $0\lt a\lt b$ ) をとる．点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を通る直線を $\ell$ とし，点 $\mbox{C}$ を通り線分 $\mbox{BC}$ に垂直な直線を $k$ とする．さらに，点 $\mbox{A}$ を通り $y$ 軸に平行な直線と直線 $k$ との交点を $\mbox{C}_1$ とし，点 $\mbox{C}_1$ を通り $x$ 軸に平行な直線と直線 $\ell$ との交点を $\mbox{A}_1$ とする．以下， $n=1，2，3，\ldots$ に対して，点 $\mbox{A}_n$ を通り $y$ 軸に平行な直線と直線 $k$ との交点を $\mbox{C}_{n+1}$ ，点 $\mbox{C}_{n+1}$ を通り $x$ 軸に平行な直線と直線 $\ell$ との交点を $\mbox{A}_{n+1}$ とする．

(1) 点 $\mbox{A}_{n}$ ， $\mbox{C}_{n}$ の座標を求めよ．

(2) $\triangle\mbox{CBA}_n$ の面積 $S_n$ を求めよ．

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\mbox{BA}_n}{\mbox{BC}}$ を求めよ．

本問のテーマ

ピタゴラスの定理の2023年に示された新証明

2024.03.21記(18:11:34)
2024年(令和6年)立命館大学2月2日-理系数学[2]
2024年(令和6年)立命館大学2月2日-理系数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

と同じく、ピタゴラスの定理の2023年に示された新証明
gigazine.net
を説明した問題である．

$\mbox{D}(-a-b,a)$ とおくと，(3) と同様にして
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\mbox{CC}_n}{\mbox{BC}}$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\mbox{CC}_n}{\mbox{DC}}$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\mbox{C}_nのx座標+a}{b}$ $=\dfrac{\dfrac{a(a^2+b^2)}{b^2-a^2}+a}{b}$ $=\dfrac{2ab}{b^2-a^2}$
が成立するので，直線 $l$ と $k$ の交点を $\mbox{E}$ とおくと，(3)から
$\mbox{BE}:\mbox{BC}=(a^2+b^2):(b^2-a^2)$
となり，先程の式から
$\mbox{BC}:\mbox{EC}=(b^2-a^2):2ab$
となるので，
$\mbox{BE}:\mbox{BC}:\mbox{EC}=(a^2+b^2):(b^2-a^2):2ab$
が成立する．よって
$\mbox{BE}^2=\mbox{BC}^2+\mbox{EC}^2$
が成立する，つまりピタゴラスの定理が成り立つ．

2024.04.29記

[解答]
$\mbox{A}_0=\mbox{A}$ ， $\mbox{C}_0=\mbox{C}$ とし， $\overrightarrow{\mbox{C}_{k-1}\mbox{C}_{k}}=(x_k,y_k)$ とおく．
このとき $\overrightarrow{\mbox{A}_{k-1}\mbox{A}_{k}}=(x_{k+1},y_k)$ が成立し，三角形の相似条件から
$\overrightarrow{\mbox{C}_{k-1}\mbox{C}_{k}}$ について $y_k=-\dfrac{a}{b}x_k$ ，
$\overrightarrow{\mbox{A}_{k-1}\mbox{A}_{k}}$ について $x_{k+1}=-\dfrac{a}{b}y_k$
が成立する．よって $x_1=2a$ から
$x_n=2a\cdot (a/b)^{2n-2}$ ， $y_n=-2a\cdot (a/b)^{2n-1}$
が成立するので，等比数列の和の公式から
$\overrightarrow{\mbox{CC}_{n}}$ $=\dfrac{2a-2a\cdot (a/b)^{2n}}{1-(a/b)^2}(1，-a/b)$
$=\dfrac{2ab-2ab\cdot (a/b)^{2n}}{b^2-a^2}(b，-a)$
となり，
$\overrightarrow{\mbox{OC}_{n}}$ $=\left(-a+\dfrac{2ab^2-2ab^2\cdot (a/b)^{2n}}{b^2-a^2}，-\dfrac{2a^2b-2a^2b\cdot (a/b)^{2n}}{b^2-a^2}\right)$
$=\left(\dfrac{a^3+ab^2-2ab^2\cdot (a/b)^{2n}}{b^2-a^2}，-\dfrac{2a^2b-2a^2b\cdot (a/b)^{2n}}{b^2-a^2}\right)$
から
$\mbox{C}_n\left(\dfrac{a^3+ab^2-2ab^2\cdot (a/b)^{2n}}{b^2-a^2}，-\dfrac{2a^2b-2a^2b\cdot (a/b)^{2n}}{b^2-a^2}\right)$
となる．また， $\mbox{A}_n$ の $x$ 座標は $\mbox{C}_{n+1}$ と同じで， $y$ 座標は $\mbox{C}_{n}$ と同じであるから，
$\mbox{A}_n\left(\dfrac{a^3+ab^2-2ab^2\cdot (a/b)^{2n+2}}{b^2-a^2}，-\dfrac{2a^2b-2a^2b\cdot (a/b)^{2n}}{b^2-a^2}\right)$
となる．

(2) $S_n$ $=\triangle\mbox{CBA}$ $+\triangle\mbox{CAA}_n$ $=ab+a\cdot \dfrac{2a^2b-2a^2b\cdot (a/b)^{2n}}{b^2-a^2}$
$=\dfrac{ab^3+a^3b-2a^3b\cdot (a/b)^{2n}}{b^2-a^2}$
となる．

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\mbox{BA}_n}{\mbox{BC}}$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\mbox{BA}_n}{\mbox{BA}}$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{(\mbox{A}_nのx座標)}{a}$ $=-1+\dfrac{2b^2}{b^2-a^2}=\dfrac{a^2+b^2}{b^2-a^2}$
となる．