2011年(平成23年)東京工業大学-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.10.05記

[2] 実数 $x$ に対して
$f(x)=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos t - x\sin 2t|\,dt$
とおく．

(1) 関数 $f(x)$ の最小値を求めよ．

(2) 定積分 $\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx$ を求めよ．

本問のテーマ

はみだし削り論法

2024.10.04記

[解答]
$f(x)=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos t - 2x\sin t\cos t|\,dt$ $=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} |1 - 2x\sin t|\,\cos t \,dt$
であるから， $u=\sin t$ と置換すると $f(x)=\displaystyle\int_0^1 |1-2xu|\,du$ となる．

注）これははみだし削り論法の $1:\sqrt{2}$ の場合であるから， $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で最小となることがわかるが，被積分関数が単純なので普通に積分しておく．

これは， $uv$ 平面で直線 $v=1-2xu$ ， $u=0，1$ ， $v=0$ で囲まれる部分の面積となるので

(1) (i) $x\leqq \dfrac{1}{2}$ のとき
$f(x)=\dfrac{1+(1-2x)}{2}\cdot 1=1-x$ （台形の面積）

(ii) $x\gt \dfrac{1}{2}$ のとき
$f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2x}\cdot 1\cdot \{1^2+(2x-1)^2\}$ $=x-1+\dfrac{1}{2x}$ （相似な三角形2つの面積）

となり，(i) は単調減少で，(ii) は
$f(x)=x+\dfrac{1}{2x}-1\geqq 2\sqrt{\dfrac{1}{2}}-1$
（等号は $x=\sqrt{2}$ ）
となるので， $f(x)$ は $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で最小値 $\sqrt{2}-1$ をとる．

(2) $\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx$ $=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}} (1-x)\, dx$ $-\displaystyle\int_{\frac{1}{2}} (1-x)\, dx$ $+\left[ \dfrac{1}{2}\log x \right]_{\frac{1}{2}}^1$ $=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\log \dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\log 2$
である．

2024.10.08記
[解答]でさらに $u^2=v$ と置換する．

[別解]
(1) $f(x)=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos t - 2x\sin t\cos t|\,dt$ $=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} |1 - 2x\sin t|\,\cos t \,dt$
であるから， $u=\sin t$ と置換すると $f(x)=\displaystyle\int_0^1 |1-2xu|\,du$ となる．

さらに $v=u^2$ と置換すると
$f(x)=\displaystyle\int_0^1 \left|\dfrac{1}{2\sqrt{v}}-x\right|\,dv$ となるので，はみだし削り論法により $x=\dfrac{1}{2\sqrt{1/2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で最小となる．このとき最小値は
$F(x)=u-\dfrac{u^2}{\sqrt{2}}$ とおくと，
$f(x)=\displaystyle\int_0^1 |1-\sqrt{2}u|\,du$
$=2F\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)-F(0)-F(1)$ $=2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)-0-1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $=\sqrt{2}-1$
となる．

注）2つの直角三角形の面積（ $\dfrac{1}{2}\cdot| \Delta x|\cdot \sqrt{2} |\Delta x|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Delta x^2$ ）の和
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left\{\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\right\}$ $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(2 - \sqrt{2})=\sqrt{2}-1$
として求めても良い．