2024.04.18記
,,,,,.
このとき,
,
とおく.
(1) を求めよ.
(2) は定数関数であることを示せ.
(3) を求めよ.
(4) となる正の実数 に対して,媒介変数表示された平面曲線 ()の長さを求めよ.
2024.04.18記(01:52:55)
, となるが,これを与えられた条件から求めるヒントとして を求めさせる誘導が(1),(2) である.実際,このとき
,
,
,,,
と確かに条件を満たしており,このとき
,
となる.
(4) は を計算すれば良いことがわかるが,この不定積分は
となるが,実は
が成立するので
も成立し,よって [解答] では と置換する.
(1)
(2) と(1)により,定義域内の任意の について が成立し,このとき
であるから, は定数関数である.
(3) (2) および により であるから,
となる.よって
となる.
(4)
と により
である.よって のとき ,つまり となり, から
となる.
求める長さを とおくと
が成立する.ここで と置換すると
から なる を用いて
が成立する.
ここで の直角三角形と の直角2等辺三角形を重ねることにより,3つの角度が の2等辺三角形を見出すことができ,よって
であることがわかり であることがわかる.よって
となる.
より
だから,
となる.
(3)
および により であるから,
となる.よって
となる.
(4)
と により
である.よって から となるので である.
求める長さを とおくと
となる.
なお,, のとき であるから,
,
となる.一方,
から
が成立する.よって
が成立する.
なお, の逆関数 (または )が
となる(だから となる)ことについては
2015年(平成27年)東北大学後期-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
参照.
2024.04.20記
単位円の良くあるパラメータ表示は であるが,本問では
半単位円 のパラメータ表示として
を採用している.条件
は円の動径と接線は垂直であることを意味している.
(1)
であるから,
(2)(3) [解答]と同じ
(4) (1)と , により曲線 ()は の一部の媒介変数表示である.
および(3)により が 0 から増加すると から反時計周りに単調に点 に向かって進み, となる点は単位円と の第1象限における交点であるから, から反時計周りにこの交点までの長さを求めれば良く,それは である.
2024.04.22記
東京出版の理系・新作問題演習(絶版)のp.154に
,,,.
このとき
(i) が成り立つことを示せ.
(ii) とおくとき, が成り立つことを示せ.
(iii) , を求めよ.(学コン1974年12月号)
という問題が載っていた. から,これは双曲線 のパラメータ表示の1つを表しており,実際に求めると , という有名なパラメータ表示が答となる.
(i) 略
(ii) , より であり,
, より であり,両者は等しくなる.
(iii) より は単調増加であるから, と は同値となり (ii) から となり,(i) より となる.
2024.04.23記
参考
2007年(平成19年)京都大学-数学乙[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR