[5] とする. のグラフの の部分と 軸とで囲まれた図形を 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 は で与えられることを示し,この値を求めよ.
2021.01.23記
バームクーヘン積分に東大がお墨付きをあたえたとされる入試問題.
結局は置換積分と部分積分.
なお, は,
( )のモーメントを求めているので,
と暗算で求まる.
もちろん,バームクーヘン積分として素直に
[解答]
の の部分を回転させてできる立体の体積 は,この区間における の最小値,最大値を とすると,円筒の体積で評価でき,
つまり
が成立する.よって となり, で であるから,はさみうちの原理により,
が成立する.
よって
となる.
の の部分を回転させてできる立体の体積 は,この区間における の最小値,最大値を とすると,円筒の体積で評価でき,
つまり
が成立する.よって となり, で であるから,はさみうちの原理により,
が成立する.
よって
となる.
としても良いしても良いし,もっと簡単に
[解答]
の の部分を回転させてできる立体の体積 は,円筒の体積
で近似できるので,
となる.
の の部分を回転させてできる立体の体積 は,円筒の体積
で近似できるので,
となる.
程度でも十分である.
2021.06.11記
懐しい資料が見つかった
区分求積法にもち込むのが多数派.高さ ,幅 ,内径 のチューブの体積は . の部分は当然高次の無限小であるが,この点にも言及した答案が結構あったのはさすが.私共としても,教科書に載っている程度の厳密な取扱いを期待する.回転体の, から までの体積を としたとき,導関数 は円筒の側面積を与える,というのは高等学校の数学では証明できない. が単調ならば回転体の面積を導く(教科書に書いてある)論法で示すことができる.これをするぐらいなら,区分求積か,ここで与えた解答例のやり方が簡単では?
(注) 解答例は持ってない