2024.02.28記
[2] 次の関数 を考える.
()
()
(1) を満たす実数 で, となるものを求めよ.
(2) (1)で求めた に対し, の値を求めよ.
(3) 関数 の区間 における最大値と最小値を求めよ.必要ならば, であることを用いてよい.
本問のテーマ
はみ出し削り論法(変分法)
2024.02.25記
[解答]
(1) ,
とおくと
であるから
となり, から
となり, となる.
(1) ,
とおくと
であるから
となり, から
となり, となる.
(2) とおくと
と から となる.
(3) (1)と増減表(略)により最小値は であり,最大値は と の大きい方となるが, により最大値は となる.
以上により,最大値は ,最小値は となる.
なお, は直角2等辺三角形の角の2等分線を利用して と計算しても良い.
2024.02.29記
大学で習う逆正接関数 を用いると見易くなる.
[大人の解答]
(1)
だから,
となり,
から となる.
(1)
だから,
となり,
から となる.
(2) とおくと
と から となる.
(3) は単調減少だから(1)により最小値は であり,最大値は
と の大きい方となるが, により最大値は となる.
以上により,最大値は ,最小値は となる.
こうであれば,始めから と置換すれば良い.すると良くある「はみだし削り論法」の枠組みになる.
はみ出し削り論法(変分法)
このタイプのはみ出し削り論法では,逆関数を用いると簡単になる.
[うまい解答]
と置換すると となる.ここで の逆関数 を用いると
が成立する.この第1項は単調増加,第2項は単調減少であるから,
なる は唯一存在し,
つまり をみたす.このとき となるので となる.
と置換すると となる.ここで の逆関数 を用いると
が成立する.この第1項は単調増加,第2項は単調減少であるから,
なる は唯一存在し,
つまり をみたす.このとき となるので となる.
以下略
が成立するので,積分は結局真面目にやらないといけない.