[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2022.03.16記

[解答]

$f(x+1)=x^2+(a+2)x+a+b+1$ ， $f'(x)=2x+a$ 　を用いると
$x^2+(a+2)x+a+b+1=c\displaystyle\int_0^1 (3x^2+4xt)(2t+a) dt$
$=c\displaystyle\int_0^1 \{8xt^2+(6x^2+4ax)t+3ax^2\} dt$
$=c\left(\dfrac{8x}{3}+3x^2+2ax+3ax^2\right)$
$=3(a+1)cx^2+\dfrac{2(3a+4)c}{3}x$
が恒等式となるので，
$1=3(a+1)c$ ， $a+2=\dfrac{2(3a+4)c}{3}$ ， $a+b+1=0$
が成立する．