2016年(平成28年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2016年(平成28年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[4] $z$ を複素数とする．複素数平面上の3点 ${\rm A}(1)$ ， ${\rm B}(z)$ ， ${\rm C}(z^2)$ が鋭角三角形をなすような $z$ の範囲を求め，図示せよ．

2020.09.26記
鋭角3角形になる条件は
1998年(平成10年)東京大学前期-数学(文科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2016年(平成28年)東京大学-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
参照。

複素平面で ${\rm P}(w)$ とするとき，三角形 $1，z，w$ が鋭角三角形となる必要十分条件は $0，1，\dfrac{w-1}{z-1}$ が鋭角三角形となることであり，
複素平面上の3点のなす三角形が鋭角三角形となる条件 - 球面倶楽部零八式 mark II
を用いると
$0\lt \mbox{Re}\Bigl(\dfrac{w-1}{z-1}\Bigr)\lt 1$ かつ $|(w-1)+(w-z)|\gt |z-1|$
である．

$w=z^2$ として条件を整理すると
$0\lt \mbox{Re}(z+1)\lt 1$ かつ $|2z+1|\gt 1$
つまり
$-1\lt \mbox{Re}(z)\lt 0$ かつ $\Bigl|z+\dfrac{1}{2}\Bigr|\gt \dfrac{1}{2}$
となる．

2021.03.22記
上記内容を解答としてまとめると

[解答]

複素数平面上の異なる3点 ${\rm A}(1)$ ， ${\rm B}(z)$ ， ${\rm C}(z^2)$ が鋭角三角形をなすことと，これを $-1$ 平行移動して $\dfrac{1}{z-1}$ 倍拡大した3点 ${\rm P}(0)$ ， ${\rm Q}(1)$ ， ${\rm R}(z+1)$ が鋭角三角形をなすことは同値である．

$\angle \rm P$ が鋭角となる条件は $0\lt \mbox{Re}(z+1)$ ，
$\angle \rm Q$ が鋭角となる条件は $\mbox{Re}(z+1)\lt 1$ ，
$\angle \rm R$ が鋭角となる条件は $\rm R$ が $\rm PQ$ を直径とする円の外側であるから $\Bigl|(z+1)-\dfrac{1}{2}\Bigr|\gt\dfrac{1}{2}$
である．

以上から，求める条件は
$-1\lt \mbox{Re}(z)\lt 0$ かつ $\Bigl|z+\dfrac{1}{2}\Bigr|\gt \dfrac{1}{2}$
となる．

（図示略）

さらに一歩すすめて，
$-1$ ， $1$ ， $2z+1$ が鋭角3角形となる条件を考えれば良く， $z'=\dfrac{1}{2z+1}$ とおくと
2016年(平成28年)東京大学-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
の問題になるので，本問の領域を
「原点中心に2倍拡大」「1だけ平行移動」「反転と $x$ 軸に関する折り返し」を続けて行なうことにより，
2016年(平成28年)東京大学-数学(文科)[1]
の領域が得られることになる．