2012年(平成24年)東京大学後期-総合科目ＩＩ[1]A - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] 与えられた状況の中で最適な結果を生み出すための戦略について考える．

A
小売業者は，生産者の商品と消費者のニーズを結びつけ，取引を促進する役割をはたす．小売業者の経済活動を，以下に考察しよう．

小売業者 A は，ある商品について，単位当りの買取価格を $p$ 円に設定して，生産者Bの供給 $S$ 単位を購入する．さらに，小売業者 A は，一単位当りの販売価格を $q$ 円に設定して，消費者 C の需要 $D$ 単位の買い注文を受ける． $p$ ， $S$ ， $q$ ， $D$ は正の実数とする．

$S$ 単位を供給する際，生産者Bには生産コスト $H(S)$ 円が発生する．生産者B は，一単位当り $p$ 円で $S$ 単位を売却することで得られる利潤 $pS - H(S)$ 円を最大にするように $S$ を決定する．生産コストは
$H(S) = \alpha S^2$ であるとする． $\alpha$ は正の実数である．

消費者Cは，D単位を消費することによって，金銭に換算して $U(D)$ 円に相当する満足を得ることができ， $U(D) - qD$ 円を最大にするように $D$ を決定する．消費者 C の満足は
$U(D)= \beta\sqrt{D}$
であるとする． $\beta$ は正の実数である．

(A-1) 生産者Bが決定する $S$ を $p$ と $\alpha$ を用いて表せ．

(A-2) 消費者Cが決定する $D$ を $q$ と $\beta$ を用いて表せ．

(A-3) 小売業者 A は $\alpha$ と $\beta$ を直接知ることはできないが，過去のデータからこれらを推定できることがある．仮に以下の二つのデータが得られた場合，それから推定される $\alpha$ と $\beta$ を求めよ．

データ1：価格を $p = 4$ ， $q=5$ に設定した際，超過需要 $10$ 単位が発生した．
すなわち $D - S = 10$ になった．

データ2：価格を $p=5$ ， $q = 10$ に設定した際，超過供給 $10$ 単位が発生した．
すなわち $S-D = 10$ になった．

(A-4) 小売業者 A は $\alpha$ と $\beta$ を一意的に推定するのに十分なデータを入手できるとは限らない．小売業者 A は，設問(A-3)における二つのデータではなく，実際には以下のデータのみが入手できた．

データ3：価格を $p = 10$ ， $q = 10$ に設定した際，供給と需要が一致した．すなわち $S=D$ になった．

小売業者 A は，販売収入 $qD$ と買取支出 $pS$ の差額として得られる利益 $qD -pS$ 円をできるだけ大きくしたいと考えている．その際，需要 Dが供給を上回らないように $p$ と $q$ を設定するものとする．データ3を用いて，小売業者 A が設定する $p$ と $q$ を求めよ．

2021.02.15記

[解答]