2009年(平成21年)東京大学後期-総合科目ＩＩ[1]A - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] 多くのデータを扱うことは，さまざまな分野で必要になる．大量のデータを整理する際に，ある基準によってデータの間に序列をつけることが有用である．また，データを転送するときには，ノイズによる転送の誤りの確率を小さくするような工夫が必要である．

A
$n$ 種類の成分 $A_1$ ，…， $A_n$ を混ぜ合わせて製品を作る．この製品に含まれる $A_1$ ，…， $A_n$ の重さの比率のデータを $p_1$ ，…， $p_n$ とする． $p_1$ ，…， $p_n$ は
$\displaystyle\sum_{k=1}^n p_k=1$ ， $0\leqq p_k\leqq 1$ ， $k=1$ ，…， $n$
を満たす実数である．また $A_1$ ，…， $A_n$ の単位重量あたりの価格を $x_1$ ，…， $x_n$ とする．ただし， $x_1$ ，…， $x_n$ は
$x_k\lt x_{k+1}$ ， $k=1$ ，…， $n-1$
を満たす正の定数である．この製品の単位重量あたりの材料の費用は
$v=\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k p_k$
で表される．

(A-1) 材料の費用 $v$ が最小となるような， $p_1$ ，…， $p_n$ の値を求めよ．

(A-2) $q_1$ ，…， $q_n$ も
$\displaystyle\sum_{k=1}^n q_k=1$ ， $0\leqq q_k\leqq 1$ ， $k=1$ ，…， $n$
を満たす実数とする．すべての $m = 1$ ，…， $n-1$ に対して
$\displaystyle\sum_{k=1}^n p_k\leqq \displaystyle\sum_{k=1}^n q_k$
となるとき，それぞれの製品の材料の費用について
$\displaystyle\sum_{k=1}^n x_kp_k\leqq \displaystyle\sum_{k=1}^n x_kq_k$
が成り立つことを示せ．

(A-3) $n=3$ とし,，
$p_1\geqq p_3$ ， $p_2\leqq p_3$
が成り立つとする．このとき，材料の費用が最大となるような， $p_1$ ， $p_2$ ， $p_3$ を求めよ．

2021.02.11記
線型計画法
アーベルの総和公式

[解答]

(A-1} $v\geqq x_1\displaystyle\sum_{k=1}^n p_k=x_1$ より， $p_1=0$ ， $p_2=\cdots=p_n=0$ のとき最小となる．

(A-2) $P_k=\displaystyle\sum_{i=1}^k p_i$ ， $Q_k=\displaystyle\sum_{i=1}^k p_i$ ， $r_k=q_k-p_k$ ， $R_k=\displaystyle\sum_{i=1}^k r_i=Q_k-P_k$ ， $k=1,\ldots, n$ とおくと， $R_n=Q_n-P_n=1-1=0$ である．

$R_n=0$ ， $R_1,R_2,\ldots,R_{n-1}\geqq 0$ ， $x_{k+1}\gt x_k$ とアーベルの総和公式により,
$\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k(q_k-p_k) = R_n x_n -\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} R_k (x_{k+1}-x_k)$ $＝-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} R_k (x_{k+1}-x_k)\leqq 0$

(A-3) $p_1\geqq p_3$ ， $p_2\leqq p_3$ より $P_1\geqq P_3-P_2$ ， $P_2-P_1\leqq P_3-P_2$ であるが， $P_3=1$ により
$P_1+P_2\geqq 1$ ， $2P_2-P_1\leqq 1$ が成立する．これと $P_1\leqq P_2$ により， $(P_1,P_2)$ の存在範囲は $(1/2,0)$ ， $(1/4,1/4)$ ， $(1,1)$ からなる三角形の周または内部．

$P_3=1$ とア－ベルの総和公式により $v=x_3-\{P_1(x_2-x_1)+P_2(x_3-x_2)\}$ となるが，

$P_1(x_2-x_1)+P_2(x_3-x_2)=d$ の値は， $P_1P_2$ 平面の直線とみたときに法線ベクトルが右上を向いているので，直線が左下にある程値が小さくなる．よって

(i) $x_2-x_1\gt x_3-x_2$ ，つまり $x_2\gt \dfrac{x_1+x_3}{2}$ のとき $(P_1,P_2)=(0,1/2)$ のとき
$v$ は最大値 $\dfrac{x_2+x_3}{2}$ をとる．このとき $p_1=0$ ， $p_2=p_3=\dfrac{1}{2}$ である．

(ii) $x_2-x_1\lt x_3-x_2$ ，つまり $x_2\lt \dfrac{x_1+x_3}{2}$ のとき $(P_1,P_2)=(1/4,1/4)$ のとき
$v$ は最大値 $\dfrac{x_1+3x_3}{4}$ をとる．このとき $p_1=\dfrac{1}{4}$ ， $p_2=0$ ， $p_3=\dfrac{3}{4}$ である．